Жұмыс істеп тұрған автоматты жүйеге әртүрлі тұрақты сыртқы қоздырулар әсер етуі себебінен реттелетін шығыстық шаманың мәні жиі өзгеріп отырады. Жүйенің автоматты реттеуіші осы реттелетін шаманы тапсырылған мәнге келтіруге ұмтылады. Бірақ тұтастай алғанда жүйеде инерциялық массалар, реактивті элементтер (индуктивтік, сыйымдылық) болатындықтан, оның орнықты қалпына келуі, немесе қалыптасқан бір күйден келесісіне өтуі лезде емес, белгілі түрде кешігіп жүзеге асады. Жүйеде өтпелі процес туындайды. Бұл жағдайда, егер жүйе қоздыру әрекеті тоқталғаннан кейін қалыптасқан күйге оралса, ол орнықты. Егер оралмаса, онда орнықсыз. Орнықсыз жұмыс кері байланыспен қамтылған АРЖ-ның барлығында туындауы ықтимал.
Қазіргі автоматты жүйелерде мынадай үш талаптар орындалуы қажет: орнықтылық шарты, өтпелі процеске және қалыптасқан режимге қойылатын талаптар. АРЖ — ның орнықтылығын анықтау мәселесі басты болып саналады, өйткені орнықсыз жүйелер іс жүзінде жарамсыз. Орнықтылықты зерттеудің жалпы әдісі АРЖ-ның жоспарлау (басқарушы) және қоздыру әсерлері тудыратын реттелетін шаманың өзгеруі үшін жазылған
(1)
дифференциал теңдеуін талдаумен тұжырымдалады. , мәндерін және олардың туындыларын нөлге тең деп алсақ, сипаттама теңдеуі
(2)
болатын біртектес
(3)
дифференциал теңдеуін аламыз.
АРЖ — ның орнықты екендігін (3) теңдеуін шешу арқылы анықтауға болады. Оның шешімі өтпелі процесті сипаттайды
, (4)
мұндағы — интегралдау тұрақтысы, ол бастапқы шарттан анықталады; — сипаттамалық теңдеудің түбірлері. өтпелі процес саны түбірлер санымен анықталатын құраушылар қосындысынан тұрады.
Жүйе орнықты болуы үшін (4) — нің шешімі мына шартты қанағаттандыруы тиіс:
. (5)
Бұл өрнек орнықтылық шартының аналитикалық өрнегі болады. Жалпы жағдайда түбілері комплекстік болып келеді. Оған қоса олар түйіндес (сопряженный) , түбірлердің жұбын түзейді. Егер түбірлер айғақты болса ( ), онда уақыт мезетінде ықпал берілгеннен кейінгі өтпелі процестің сипаты экспоненциалды түрде болады. Түбір шамасы, болғанда, өтпелі процес тарап кетеді де, жүйе орнықсыз болады, ал кезінде процес өшіп, жүйе орнықты болады. комплекс түбір болғанда, өтпелі процес тербелмелі болады, яғни . Егер түбірдің айғақты (нақты) бөлігі теріс болса ( ), онда тербеліс өтпелі, яғни жүйе орнықты болады. түбірдің (айғақты) нақты бөлігі оң болғанда, процес тарап кетеді де, жүйе орнықсыз болады.
Егер түбір жорамал болса, тербеліс өшпейтін тұрақты амплитудалы болып келеді. Бұл орнықтылық шекарасы тербелмелі деп аталады.
Орыс ғалымы, академик А.М.Ляпунов бірінші болып орнықтылықтың дәл анықтамасын тұжырымдап, қозғалыстың орнықтылығын зерттеудің жалпы әдісін жасады. Оның теориясы бойынша, сызықты АРЖ-ның орнықтылығы сипаттамалық теңдеудің түбірлерімен анықталады. Сызықтық АРЖ-ның орнықтылық шартының аналитикалық тұжырымын А.М.Ляпунов былайша тұжырымдайды: сызықты АРЖ орнықты болуы үшін мынадай шарттар қажетті және жеткілікті: сипаттамалық теңдеудің барлық айғақты түбірлерінің теріс таңбалы болуы, ал комплекс түбірлерінің айғақты бөлігі теріс таңбалы болуы тиіс.
Осылайша түбірлердің комплекс жазықтығында жорамал өсі орнықтылық шекарасы болып табылады. Орнықтылық шекарасындағы бейтарап жүйе үшін жорамал осьте орналасқан түбірлердің болуы, ал орнықсыз жүйе үшін жорамал осьтің оң жағында кем дегенде бір түбірдің болуы қажет.
Бірінші және екінші ретті жүйелердің сипаттамалық теңдеулерінің барлық коэффициенттері нөлден үлкен болса, олар орнықты делінеді. Жоғары ретті жүйе үшін бұл шарт тек қажетті ғана, бірақ жеткіліксіз. АРЖ-ның орнықтылығын әдетте орнықтылық критерийлерімен бағалайды. Орнықтылықтың негізгі Раус – Гурвиц, Михайлов және Найквист критерийлері секілді үш критерийі бар. Оларды жеке-жеке қарастырайық.
Раус – Гурвиц критерийі. Кейде алгебралық деп аталатын Раус – Гурвиц критерийінің мәні былайша анықталады:
. (6)
Сипаттамалық теңдеудің түбірлері жорамал осьтің сол жағында жатып және жүйе орнықты болуы үшін Гурвицтің барлық диагональ минорлары сипаттамалық теңдеудің оң коэффициенттері кезінде оң болуы қажетті әрі жеткілікті. Сипаттамалық теңдеуден Гурвицтің бас анықтауышы мынаған тең:
(7)
Осы анықтауышты құрғанда диагональ бойымен коэффициенттерді өспелі дәреже бойынша жазады. (7) — дегі үзік сызықпен таңбаланған барлық диагональ минорлары кезінде оң болуы тиіс. Мысалы, бірінші ретті жүйе үшін
(8)
орнықтылық шарты
.
Екінші ретті жүйе үшін
(9)
Қажетті және жеткілікті шарт орындалуы үшін сипаттамалық теңдеудің барлық коэффициенттері оң болуы тиіс: ; ; .
Үшінші ретті жүйе үшін
(10)
(10) сипаттамалық теңдеуінің барлық коэффициенттері, оған қоса екінші ретті және анықтауыштары оң болуы қажетті әрі жеткілікті:
; ; ; ; ,
;
. (11)
Осылайша үшінші және төртінші ретті теңдеулер үшін коэффициенттердің оң болуынан басқа (10), (11) теңсіздіктерінің орындалуы да қажет.
Михайлов критерийі. Бұл критерийді А.В.Михайлов 1938 жылы жариялаған. Ол сызықты тұйықталған автоматты реттеу жүйелерін зерттеуге арналған. Автоматты жүйелердің орнықтылығын анықтау жүйенің сипаттамалық теңдеуін талдауға негізделген. Осы теңдеудің белгілі түбірлерінде, оны былай жазуға болады:
(12)
(12) — дегі -ны -мен алмастырса, онда
(13)
сипаттамалық вектордың әр көбейткіші комплекстік сан болып табылады да, басы нүктесінде, ал соңы жорамал осьтегі А нүктесінде болатын вектор түрінде беріледі. 0 — ден -ке дейін өзгерген кезде, сипаттамалық векторды құрайтын векторлардың ұшы жорамал ось бойымен аргументі (фазаны) өзгерте отырып, ығысады. Егер түбір нақты сандар бойында жорамал осьтің сол жағында орналасса, онда өзгерісі кезінде векторы сағат тілінің бағытына қарсы бұралады, оның аргументі оң, ал шекті мәні -ге тең
,
егер түбір оң жақта орналасса, онда
.
Ал түбірлер түйіндес, комплексті болса, онда әр түбірдің векторы және бұрыштарына бұрылады, мұндағы -түбірдің координат басынан абсцисса осі бойымен жүргізілген вектормен жасайтын бұрышы. Бұл векторлар аргументінің жалпы өсімшесі -ке дейін өзгергенде мынаған тең болады.
.
сипаттамалық векторы комплекс сандардың көбейтіндісі болып табылады. Оларды көбейткенде аргументтер қосылады. Демек,
; (14)
Егер жорамал остің оң жағында « » түбірлер орналасса, онда сол жағында ( ) түбірлер болады, мұндағы — теңдеулер дәрежесі. вектордың қорытынды аргументі
; . (15)
Барлық түбірлері жорамал осьтің сол жағында ораналасатын орнықты жүйеге сәйкес келетін векторының шамасы мен бағыты да өзгеріп отырып, оның ұшымен қайсыбір қисық (годограф) сызылады, оны Михайлов годографы дейді. Комплексті айнымалы жазықтығында орналасатын бұл қисықтың түрі бойынша орнықты ма, жоқ па екенін анықтайды.
Михайлов қисығын салу үшін сипаттамалық теңдеуіндегі -ның орнына -ны қояды да
(16)
векторын айғақты және жорамал бөліктер түрінде көрсетеді
, (17)
мұндағы (18)
(19)
— ға 0 — ден -ке дейінгі аралықта әртүрлі мәндер бере отырып, мен -ның бірқатар шамасын алады, ол векторы ұшының координаттарын білдіреді. Осы нүктелерді өзара қосу арқылы Михайлов годографын аламыз. Бұл қисық кезінде әрқашан оң айғақты осьте , нүктесінде басталуы тиіс, ал (16) шартын сақтау үшін қисық жазықтықтың квадрантын сағат тілінің бағытына қарсы біртіндеп, координат басын баспай өтуі тиіс.
Егер зерттелетін жүйе орнықсыз болса, онда бұрылыстың қорытынды бұрышы -ден кем болып, годограф квадрантты басып өтпейді.
Суретте үзік сызықпен орнықсыз жүйенің Михайлов годографы көрсетілген, өйткені ол квадранттың бірінен (үшіншісінен) өтпейді.
Орнықты жүйе үшін ші квадрантта қисық шексіздікке кетуі тиіс, өйткені тек осы жағдайда ғана (16) шарты орындалады. Сонымен Михайлов орнықтылығының критерийі былай өрнектеледі: егер -ші ретті АРЖ орнықты болса, онда сипаттамалық вектор 0 — ден — ке дейін өзгергенде Михайлов годографы оң айғақты жарты осьтен басталып комплексті жазықтықтың квадранттар санын сағат тілінің бағытына қарсы кезектеп өтуі тиіс.
Мысал. Төртінші ретті сипаттамалық теңдеуі бар жүйені орнықтылыққа тексеру керек
G (p) = 3p4 + 5 p3 + 8 p2 + 2 p + 2 = 0 ,
Р – ны j — ға алмастырып
G (p) = 3 ω4 – j 5 ω3 – 8 ω2 + j 2 ω + 2 = 0
алады.
Вектордың айғақты және жорамал бөлігін (18), (19) формулаларына сәйкес анықтайды
Х (ω) = 2 – 8 ω2 + 3 ω4;
Y (ω) = 2 ω – 5 ω3 .
ω – ның әртүрлі мәнін қоя отырып, Х (ω) және Y (ω) анықтайды. Олардың мәндері кестеге түсірілген.
Кесте
ω, с-1 0 0,3 0,5 1,0 2,0 10
Х (ω) 2 1,3 0,18 -3 18 29202
Y (ω) 0 0,465 0,375 -3 -36 — 4980
Есептеу нәтижесі бойынша Михайлов қисығын салады. Қисық айғақты осьтің оң бөлігінде ω = 0, аn = 2 кезінде басталып, содан кейін, сипаттамалық теңдеудің дәрежесіне тең квадранттар санын, яғни төрт квадрантты басып өтіп, төртінші квадрантта шексіздікке кетеді. Демек, жүйе орнықты.
Найквист критерийі. Бұл критерийдің көмегімен ажыратылған жүйенің амплитудалық – фазалық — жиліктік сипаттамасының түрі бойынша тұйықталған жүйенің орнықтылығын бағалауға болады. Осы критерий қазір оңайлығы, көрнекілігі және тәжірибе жасауға мүмкіншілік туғызуына байланысты кең тараған.
Найквист критерийінің көмегімен автоматты жүйенің орнықтылығын тәжірибе арқылы зерттегенде ондағы кері байланысты үзеді. Жүйенің кірісіне амплитудасы мен жиілігі тұрақты тербеліс беріледі. Сызықтық жүйе арқылы өткен сигналдың жүйенің шығысындағы жиілігі де сондай, ал амплитудасы мен фазасы өзгеше болады:
.
Комплекстік беріліс коэффициенті немесе жиіліктік беріліс функциясы бұлай анықталады
. (20)
мен мәндері жиілікке тәуелді. жиіліктік беріліс функциясын өзгергенде комплекс айнымалылар жазықтығында осы вектордың годографы, яғни амплитудалық-фазалық сипаттама (АФС) түрінде кескіндеуге болады.
Зерттелетін ашық жүйенің беріліс фукнциясын біле отырып және ондағы операторды — ға алмастырып, жиіліктік беріліс функциясын немесе амплитудалық – фазалық — жиіліктік сипаттаманы (АФС) алады. Тәжірибе жүзінде немесе есептеумен алынған АФС — ның түрі бойынша жүйе орнықты ма, жоқ па, соны анықтайды.
Орнықтылықтың Найквист критериі былайша тұжырымдалады: егер тұйықталмаған күйдегі АРЖ орнықты болса, онда ол тұйықталған күйде де орнықты болуы үшін тұйықталмаған жүйенің амплитудалық-фазалық сипаттамасы координаты (-1, j0) нүктесін қамтымауы (айналып өтпеуі) қажетті әрі жеткілікті.
Орнықтылықтың қарастырылған тұжырымы тұйықталмаған жүйе орнықты болып, АФС теңдеуіндегі бөлшектің алымындағы полином дәрежесі бөліміндегі полином дәрежесінен кем болғанда ғана дұрыс болады.
Тұйықталмаған жүйе орнықты және бейтарап буындардан құралғанда ғана орнықты болады. Бұл жүйенің құрылымдық схемасынан құрылған буындар құрамын қарастырғанда тағайындалады.
АФС координаты (-1, j0) нүктені қамти ма, жоқ па, соны анықтау үшін осы нүктеден АФС-ның барлық нүктелеріне вектор тұрғызылады. Егер жүйе орнықты болса, онда векторының қорытынды бұрылысы нөлге тең. Ал орнықсыз жүйе үшін ол нөлге тең болмайды. Бұл бұрыш -ге тең. 2 — қисық астатикалық жүйенің АФС-на сәйкес келеді. Астатикалық жүйенің беріліс функциясының көбейткіші , ал АФС теңдеуінікі болады. Мұндай жүйенің АФС — ын салғанда болса, онда ол шексіздікке кетеді. 2 — қисық (-1, j0) кординаты бар нүктені қамти ма, жоқ па, соны анықтау үшін оның -қисықтық айналық кескінін салады. Содан кейін 2 және қисықтарымен қиылысқанға дейін үлкен радиусты, центрі координат басында болатын доғаны тұрғызады.
Егер векторының соңы o-q-a-b-m-n-a-r-o тұйықталған қисықпен өтсе, әрі (-1, j0) нүктесінің төңірегінде оның бұрылысының қорытынды бұрышы нөлге тең болса, онда жүйе орнықты болады.
АФЖ-ның нақты осьтің теріс бағытымен қиылысу нүктесінде фаза бойынша ығысу 180 о –қа тең, олай басқа шығыстық сигнал кіріспен қарсы фазада болады. Егер қиылысу нүктесі координаты (-1, j0) нүктенің сол жағында болса, онда шығыстық сигналы амплитудасының кіріске қатынасы бірден үлкен, яғни берілген жиіліктегі коэффициент 1-ден үлкен екенін білдіреді. Кері байланыс тізбегі тұйықталғанда жүйенің кірісіне амплитудасы мен фазасы ұлғайған сигнал келеді. Жүйе арқылы өте отырып, ол тағы да ұлғаяды. Демек, жүйе орнықсыз.
Мысал. Найквист критерийімен статикалық АРЖ – ны орнықтылыққа тексеру қажет.
7.10 сурет
Тұйықталмаған АРЖ – ның беріліс функциясы
W (p) =
T1 = 90; c T2 = 10 c; T3 = 3 c; K = 20 кезінде К = к1к2к3 р – ны jω – ға аумастырып, жиіліктік беріліс функциясын алады
W (jω) = .
Формуладағы бөлшектің алымы мен бөлімін, соңғысына түйіндес комплекс санға көбейтіп оны айғақты және жорамал бөлікке ажыратып, алады
W (jω) = U (ω) + j V (ω) =
=
Формулаға буындардың уақыт тұрақтыларының мәндері мен тұйықталмаған жүйенің К күшейту коэффициентінің мәнін қойып айғақты және жорамал бөліктерінің мәнін алады
W (jω) = 20 ;
U (ω) = ;
V(ω) = — .
U (ω) мен V(ω) – ның әртүрлі ω үшін табылған мәндері кестеге енгізілген. Кестедегі деректер бойынша АФС салынады. Жүйе орнықты, өйткені координаты (- 1, j0) нүкте қисықтың сол жағында қалады.
Кесте
ω, с-1 0 0,005 0,016 0,08 0,195 0,5 ∞
U (ω) 20 16,2 4,4 — 1,46 — 0,5 — 0,35 0
V (ω) 0 — 8,6 — 10,4 — 1,5 0 0,03 0