Евклид геометрияны дәл ғылым ретінде құрғанда (Евклид арабша — Үкілидас), кейбір негізгі үғымдар мен дәлелденбей қабылданатын ұйғарымдарға сүйенді. Солар арқылы теоремаларды дәлелдеп, теоремалар арқылы фигуралардың математикалық қасиеттерін сипаттап отырды. Дәлелденбей қабылданатын үйғарымдар аксиомалар деп аталады. Аксиомалардың саны мүмкіндігінше аз болу керек, өйткені олар дәлелденбегендіктен күдік тудырады.
Евклидтің XI аксиомасының мазмұны мынадай:
«а түзуінен тысқары жатқан А нүктесінен осы нүкте мен түзу анықтайтын жазықтықта жатып, а түзуіне параллель болатын бір ғана түзу жүргізуге болады».
Бұл аксиома көбінесе Евклидтің бесінші постулаты делінеді. Бесінші постулат аксиома ретінде алынғанымен, ішкі мазмұны жағынан теорема сияқты, қалған он аксиомадай көділге оп-оңай қона қоймайды, шүбәландырады. Бұл жайды Евклид өзі де аңғарған, сондықтан аксиомалар тізімінің аяқ жағына қойған, 28 теореманы дәлелдегенше пайдаланбаған. Мұны байқаған Евклидтен кейінгі математиктер бесінші постулатты теорема ретінде дәлелдеуге талаптанған.
Бұл мәселемен грек математиктері Птолемей (біздің заманымыздан бұрынғы 147-70-жылдар) мен Прокл (410-485) шұғылданған. Араб тілінде жазған авторлардан бесінші постулатты тұңғыш рет зерттеген адам — қазақстандық математик және астроном Ғаббас ибн Сәид әл-Жауһари. Ғаббас Жауһари — Фарабидің жерлесі, ежелгі Қазақстанның Отырар қаласында туған, IX ғасырда өмір сүрген. Бағдат академиясында Хорезмимен бірге қызмет істеген. Оның өмірбаяны мен жазған еңбектері сақталмаған. Жауһаридің «Ислах ли китәб әлусіл» — ««Негіздердің» шалағай жерлерін түзету» атты кітабы болғандығы, онда бесінші постулат ішкі айқыш бұрыштардың қасиеттері арқылы дәлелденгендігі XIII ғасырдағы азербайжан математигі Насыреддин Тусидің еңбектерінде айтылады. Келешекте Жауһаридің кітаптары табылуы мүмкін.
Бесінші постулат жөнінде араб математигі Әбуәли Хайсам (965-1039) мен азербайжан математигі Әбіл Аббас Тәбіризи (922-жылы өлген) ғылыми зерттеулер жүргізген.
Евклидтің геометриясына сын жазғандардың бірі Фараби болатын. Оның мақаласының орыс тіліндегі аудармасын қажет етушілер «Проблемы востоковедения» журналының 1959-жылғы 4-номерінен оқи алады.
Омар Хайямның айтылып отырған еңбегі де бесінші постулатқа арналған. Ол онда өзіне дейінгі ғалымдардың бесінші постулат жөніндегі шығармаларын талдап, кемшіліктерін көрсетеді.
Хайям бесінші постулатты аксиома қатарынан шығарып, теорема ретінде дәлелдейді. Ол үшін мынадай ұйғарымға сүйенеді:
«Бір түзуге жүргізілген екі перпендикуляр бірін бірі қиып өтпейді».
Бұдан: «Төртбұрыштың үш бұрышы тік болса, төртіншісі де тік бұрыш болады» деген қорытынды шығады, ол бесінші постулатты дәлелдеуге мүмкіндік береді. Қазір Хайям зерттеген үш бұрышы тік төртбұрыш Саккери төртбұрышы деп аталады.
Ғалым геометриялық еңбегін 1077-жылы жазып аяқтаған, оны 1218-жылғы қазанда Масғұд Халфари деген біреу көшіріп алған. Көшірме Лейден қаласында сақтаулы. 1936-жылы оны атақты Иран ғалымы Тағи Эрани (1902-1940) араб тілінде Теһеранда бастырып шығарған. Эрани — жалынды революционер, кемеңгер ғалым. 1930-жылға дейін ол Берлин университетінде философия мен риторикадан сабақ берген, содан кейін Теһерандағы политехникалық институттың механика мен физика профессоры болып қызмет істеген. Көптеген кітаптар жазған. «Дүния» атты марксистік бағыттағы қоғамдық-философиялық журналдың редакторы болған. Империалистердің Ирандағы тіміскілеу әрекеттеріне қарсы, еңбекшілер бақыты үшін батыл күрескен. «Елу үш» деген процесте бас айыпталушы ретінде 1938-жылы тұтқынға алынып, сотта сөйлеген сөзінде империализмді, оның Ирандағы итаршыларын, шаһ үкіметінің зұлымдықтарын масқара еткен. Эрани 1940-жылы түрмеде өлген. Жазушы Г. Севунцтың екі томдық «Теһеран» романында айтылатын Шәмсі Азади — осы Тати Эрани.
Насыреддин Туси өз кітабында Хайямның дәлелдеуін қысқаша баяндап өткен. Оның кітабы Еуропа елдеріне тараған.
Жалпы алғанда бесінші постулатты жүзге тарта ірі математиктер зерттеп, «дәлелдеп» шыққан. Олардың Хайямнан соңғы атақтылары: Насыреддин Туси (1201-1274), Джон Валлис (1616-1703), Жиролам Саккери (1667-1733), Иоган Ламберт (1728-1777), Адриан Лежандр (1752-1833). Бұл мәселенің шешімі 2000 жылға созылды.
Математиктер бесінші постулатты шын мәнінде дәлелдей алған жоқ. Оны теорема ретінде дәлелдеу үшін алдыңғы он аксиома мен солардың салдарларын ғана пайдалану керек. Ал дәлелдеушілер бұлардан басқа да әр түрлі ұйғарымдарды пайдаланды, кейбір авторлар мұны өздері де сезбей қалды. Демек, он бірінші аксиоманың орнына онымен парапар басқа аксиома енгізіп, айырбас жасады.
Бесінші постулат жөніндегі мәселені ұлы орыс математигі Н.И. Лобачевский (1792-1856) ғана шешті. Ол бесінші постулатты алдыңғы он аксиома бойынша дәлелдеуге мүлде болмайтындығын көрсетті. Бесінші постулатты мүлде шығарып тастап, оның орнына басқаша үйғарым — Лобачевский аксиомасын алып, Н.И.Лобачевский жаңа геометрия жасады. Қазір бұл геометрия Лобачевскийдің биевклидтік геометриясы деп аталады.
Лобачевский жаңа геометрияға өзіне дейінгі геометрлердің еңбектерін талдау нәтижесінде жетті. Олардың ішінде Хайямның да еңбегі бар. Сондықтан Омар Хайям биевклидтік геометрияға жол салушылардың бірі болып табылады.
Хайямның араб тілінде «Зергерлік қоспалардағы алтын мен күмістің әрқайсысының шамасын табу өнері туралы» деген физикадан жазған шағын кітапшасы сақталған. Онда қарастырылатын мәселе Сиракуз патшасы Гиеронның тағындағы алтын мен күмістің шамасын табу жөніндегі Архимед есебімен парапар. Таза алтыннан немесе таза күмістен жасалмай, алтын мен күміс араластырыла жасалған бұйымдардағы алтын мен күмістің әрқайсысы қанша екенін бұйымды бұзбай анықтау әдісі көрсетіледі. Ол үшін алтын мен күмістің ауадағы және судағы салмақтары еске алынады. Есеп Архимед заңы бойынша шешіледі. Бұл еңбек ғылымға қосылған, Хайямның өзі тапқан жаңалық емес, бірақ өз тұсында физика заңдарын насихаттауда, Шығыс елдерін грек ғылымымен таныстыруда елеулі роль атқарған.
Соңғы кітапшаның екі қолжазба нұсқасы бар, олардың бірі Германияның Гота қаласындағы кітапханада, екіншісі Ленинградтың М. Е. Салтыков-Щедрин атындағы кітапханасында. Гота нұсқасы 1924 және 1936-жылдары араб тілінде, 1906 және 1925-жылдары неміс тіліне аударылып, жарияланған. Ленинградтағы нұсқасынан 1908, 1914 және 1916-жылдары неміс тіліне аударылып, үзінділер басылған.
Белгілі совет ғалымы профессор Б.А.Розенфельд баяндалып өткен үш кітаптың үшеуін де орыс тіліне аударып, тиісті түсіндірмелер мен ескертпелер беріп, 1953-жылы Мәскеуде бастырып шығарды.