Хайямның математикалық еңбектері
Омар Хайям елу шақты кітап жазған, олардың көпшілігі бізге жетпеген. Замандастарының айтуы бойынша, Хайямның тұңғыш еңбегі — «Арифметиканың қиын мәселелері», онда сандардан кез келген бүтін оң дәрежелі түбірлер шығару жолдары көрсетілген. Мұндай түбірлерді шығару үшін Ньютон биномының ережесін білу керек. Демек, Хайям бином теоремасын Ньютоннан (1643-1727) бұрын тапқан. Бұл кітаптың нұсқасы сақталмаған.
Хайямның математикадан жазған екі ірі еңбегі белгілі. Олардың бірі — «Алгебра мен әлмүкәбәла есептерінің дәлелдемелері туралы», екіншісі — «Евклид кітабындағы қиын постулаттарға түсіндірмелер». Алдыңғысында алгебра, соңғысында геометрия мәселелері баяндалады. Бұлардан автордың аса дарындылығы және өзіне дейінгі ғылымды толық меңгергендігі айқын көрініп тұрады. Хайям өз тақырыбына байланысты Аристотельдің, Фарабидің, Птолемейдің, Евклидтің, Архимедтің, Аполлонийдің, Геронның, Хорезмидің, Жауһаридің және тағы басқалардың еңбектерін саралап, кемшіліктерін тауып, өз пікірін айтып отырады.
Алгебра мен әлмүкәбәла ілімінің негізін салушы Хорезми (780-850) болғаны мәлім. Хорезмиден Хайямға дейінгі екі ғасыр ішінде бұл ілім кең жолға шыға алмай, алғашқы қалпында қалды, бірен-саран авторлар оны әрі дамыту орнына тек түсіндірумен ғана қанағаттанды. Алдымен алгебраның қандай ғылым екендігі жөніндегі анықтама мен оның арифметикадан айырмашылығын сипаттайтын тұжырым болмады. Алгебраның Хайямға дейінгі тірегі баяғы «Хорезми айтады» ғана болып келді. Бұл ғылымды жүйелі түрде баяндау, оның арифметикамен аралығындағы жігін ашу және күн тәртібіне кезектегі мәселелерді қою Омар Хайямның үлесіне тиді.
Сөзді ғалымның езіне берейік.
«Алгебра мен әлмүкәбәла өнері, — дейді Омар Хайям, — ғылыми өнер, оның зерттейтін пәні — абсолюттік сандар мен өлшенетін шамалар, әдетте бұлар белгісіз болады: Бірақ бір белгілі нәрсеге байланыстырылып берілетіндіктен, оларды анықтауға болады. Бұл нәрсе деп отырғанымыз басқа ешнәрсеге байланыстырылмайтын сан немесе қатынас болып табылады. Сен оның мағынасына әбден түсінуге тиіссің. Бұл өнер белгісіз нәрсені берілген шарттармен байланыстырып, араларындағы тәуелділіктерді табуды мақсат етеді.
Шамалар, яғни үздіксіз сандар төрт түрлі болады: сызық, бет, дене және уақыт… Алгебра есептерінде уақытты көбінесе қарастырмайды, бірақ қажет бола қалса, оны қарастырудың ерсілігі жоқ.
Әдетте алгебраистер өз өнерлерінде табылуға тиісті белгісізді нәрсе дейді, оның өзіне өзінің көбейтіндісін квадрат дейді, квадраттың өзіне көбейтіндісін куб дейді…
Естеріңізде болсын, бұл кітапты тек Евклидтің «Негіздер» және «Берілген шамалар» атты шығармаларын, сонымен қатар Аполлонийдің «Конустық қималарының» алғашқы екі кітабын жақсы білетіндер ғана түсіне алады. Бұл екі жолдың бірінде тосқауылға кездескен оқушылар кітапты меңгере алмайды…
Есептердің алгебралық шешулері теңдеулер арқылы, басқаша айтқанда әр түрлі дәрежелерді біріне бірін теңдестіру арқылы жүзеге асырылады».
Бұл үзіндіні, ұзағырақ болса да, кедтіруді қажет деп таптық, өйткені онда алгебра бірсыдырғы толық сипатталған. Ғалымдар алгебраны XX ғасырға дейін осы Хайям айтқан мағынада түсініп келді.
Сандар мен үздіксіз шамаларды баяндағанда Хайям Аристотель мен Фарабидің еңбектеріне сүйенген.
Евклид (біздің заманымыздан бұрынғы 330-275-жылдар шамасы) — гректің ұлы математигі, басы құралмай таралып жүрген әр түрлі тәжірибелік ережелерді жинақтап, бір жүйеге келтіріп, геометрияны нақты ғылымға айналдырған ғалым. Ол 13 кітаптан кұралған «Негіздер» атты әйгілі шығарма жазған. «Негіздер» бүкіл геометрияның көзі болып табылады. Аполлоний (біздің заманымыздан бұрынғы 250-200-жылдар шамасы) — гректердің Евклид пен Архимедтен кейінгі ұлы математигі. Оның 8 кітаптан құралған «Конустық қималары» шеңбер, эллипс, парабола, гипербола деп аталатын қисық сызықтардың қасиеттерін зерттеуге арналған.
Сонымен, Омар Хайямның түсіндіруінше, алгебра — алгебралық теңдеулерді шеніу жолдарын зерттейтін ғылым. Белгісіз санның дәрежесіне қарай теңдеулер бір дәрежелі, квадрат, куб, төрт дәрежелі т. с. с. теңдеулер деп аталады.
Бір дәрежелі теңдеулер көбінесе арифметикалық амалдар арқылы шешіледі. Оларды ежелгі мысырлықтар, вавилондықтар, қытайлықтар, үнділер шығара білген. Квадрат теңдеулердің, яғни екінші дәрежелі теңдеулердің сызықтар арқылы шешу жолын — шешудің геометриялық әдісін Евклид көрсеткен, ал алгебралық әдісі Хорезмидің кітабында айтылған болатын. Үшінші дәрежелі — куб теңдеулердің кез келген түрін шығарарлық математик Хайямға дейін болған емес. Оның өшпес еңбегі кез келген куб теңдеуді шешу жолын табуында. Теңдеулерді Хайям 25 түрге бөліп, әрқайсысының қалай шығарылатынын айтады. Евклид квадрат теңдеулерге түзу сызық пен шеңберді қолданған болатын. Хайям куб теңдеулерге эллипс, парабола, гипербола сызықтарың да қолданады. Сызықтардың өзара қиылысу нүктелері теңдеудің түбірлерін анықтайды.
Теңдеулер мен сызықтарды байланыстыру жемісті болып шықты. Бұл әдісті тереңдетудің нәтижесінде француз математиктері Р. Декарт (1596-1650) пен П. Ферма (1601-1665) аналитикалық геометрияның іргесін қалады.
Хайямның еңбектері үшінші, төртінші, бесінші дәрежелі теңдеулерді сызықсыз, алгебралық жолмен, шешу тәсілдерін табуды күн тәртібіне қойды. Кез келген куб теңдеуді шешудің алгебралық әдісін итальян математиктері С. Ферро (1465-1526) мен Н.Тарталья (1499-1557) тапты. Төрт дәрежелі теңдеуді итальян математигі Л. Феррари (1522-1565) шешті. Норвегия математигі Н. Абель (1802-1829) егер оңай шығатындай етіліп, коэффициенттері алдын ала сұрыпталып берілмесе, бесінші және одан жоғары дәрежелі теңдеулердің дәл алгебралық әдістермен мүлде шешілмейтіндігін дәлелдеді. Теңдеулерді зерттеу қазіргі математиканың үлкен салаларының бірі — группалар теориясын тудырды.
Араб тілінде жазылған, бұл кітап «Рисәләт әл-хаким әл-фадил Ғиясэддин Әбілфатих Омар ибн Ибраһим әл-Хайями ән-Нишапури фил барахин әла мәсаил әлджәбір уәл мүкәбәла» деп аталады. Арабтар арқылы Еуропа елдеріне тараған. Парижде екі, Лейденде бір данасы сақталған. Бұларды зерттеп, француз ғалымы В. Вепке 1851 жылы араб және француз тілдерінде жариялаған. Кітаптың соңғы жолында: «Бұл еңбек… жылғы алғашқы рәби айының 23-нде, жексенбі күні түс кезінде аяқталды» делінген. Жылы түсініксіз болып өшіріліп кеткен. Есептеп шығарғанда автордың кітапты жазып бітірген уақыты 1071-жылғы 19-желтоқсан болады.
Хайямның геометриялық еңбегі — «Рисәлә фи шарх мә ашқал мін мусәдирәт китаб Үкілидас, сәләс мақалат, тасниф аш-шайх, әл-имам әл-аджалл хұджат әл-хаққ Әбілфатих Омар ибн Ибраһим әл-Хайями» — «Евклид кітабындағы қиын постулаттарға түсіндірмелер, даңқты шайх және имам Әбілфатих Омар ибн Ибраһим Хайямның шығармасы». Кітаптың соңғы жолында мынадай мағлұмат келтірілген: «470-жылы, алғашқы джұмаданың ақырында аяқталды, Минахтың кітапханасында, ақ қағазға қара сиямен түсірген шайх имам Омар Хайям». Сонда жазылып біткен уақыты 1077-жылғы желтоқсан айының ортасы болады.