- Математикада XIX ғасырдың екінші жартысында жиын ұғымы пайда болды. Жиын ұғымының математикаға енуі жиын теориясын қалыптастырды. Жиын теориясының негізін қалаушы неміс математигі Георг Кантор(1845-1918) болды.
Жиын ұғымы математиканың негізгі, алғашқы ұғымдарының бірі, сондықтан ол басқа ұғымдар арқылы анықталмайды.
Сан ұғымынан бұрын шыққан жиын ұғымын қандай да бір нәрселердің жинағы ретінде түсінеміз, ол жинаққа кіретін нәрселерді жеке-жеке қабылдауға және оларды бір-бірінен де, бұл жинаққа жатпайтын басқа нәрселерден де ажыратуға болады деп білеміз.
«Жиын» деген сөз математикада «көптіктің» мағынасында, оның бір баламасы ретінде қолданылады. Ол сөз жоғарыда айтқанымыздай «жинақ», «жиынтық» мағынасын білдіреді. Жиындар алуан-алуан объектілерден құралуы мүмкін, ол объектілері жиынның мүшелері немесе элементтері деп аталады. Мысалы, «адамдар жиыны» тірі табиғат объектілерінен құралса, «кітап жиыны» жансыз табиғат объектілерінен құралады. Ал бүтін сандар жиынын алсақ, бұл жиын нақтылы объектілерден емес, дерексіз ұғымдардан тұрады. Сөйтіп, не туралы пікір қорытып, ойлай алатын болсақ, солардың бәрі де жиын элементтері бола алады.Сондай-ақ жиын атаулының бәрі біртектес объектілерден құралуы да шарт емес. Мысалы, элементтері оқушы, кітап, қалам, дәптер болатын жиын немесе үстел үстіндегі нәрселердің: шам, кітап, алма, қалам жиыны туралы сөз етуге болады. Жиын жалғыз ғана элементтен де құралуы мүмкін. Мысалы, Жердің барлық табиғи серіктерінің жиыны жалғыз серіктен – Айдан тұрады. Жиынның элементтерінің өздері жиындар болуы мүмкін. Мысалы, элементтерінің саны екіге тең жиындардың жиынын алатын болсақ, мұндай жиынның элементтері деп «су» сөзіндегі әріптер жиыны, адамның құлақтарының , көздерінің, қолдарының , құстың қанаттарының т.с.с. жиынын айтуға болады.
Жиын латын алфавитінің үлкен әрпімен А,В……,Z белгіленеді. Бір де бір элементі болмайтын жиынды құр(бос) жиын деп атайды. Оны Ø түрінде белгілейді. Жиынның элементтері латын алфавитінің кіші әріптерімен белгіленеді.
Жиынның кез-келген элементінің ол жиынға жататындығы(тиістілігі) немесе оған жатпайтындығы (тиісті еместігі) тағайындалған болса , ондай жиын толығынан анықталған жиын деп аталады. а элементінің М жиынына жататындығын тиістілік таңбасы арқылы белгілейміз: а Є М.
Бұлай белгілеуді сөзбен түрліше айтуға болады.
а дегеніміз М жиынының элементі.
а элементі М-ге тиісті.
а элементі М-ге енеді.
а элементі М-ң құрамындағы элемент
а элем-ң М жиынына жатпайтындығын а ¢ М деп белгілейді, оны да әртүрлі оқуға болады:
а дегеніміз М жиынының элементі емес
а элементі М-ге тиісті емес
а элементі м-ге енбейді
а элементі М-ң құрамындағы элемент емес.
Егер жиын ақырлы санды элементтерден тұрса, оны ақырлы жиын деп атаймыз. Ақырлы жиын саналымды жиын деп та аталады. Өйткені оның барлық элементтерін «біртіндеп санап» шығуға, яғни тізбектей нөмірлеуге болады. Мысалы, а1, а2, а3, а п , сонда барлық элемент те нөмірлеп, әртүрлі элемент түрліше көмірленеді.
Егер жиын ақырсыз санды элементтерден тұрса, оны ақырсыз жиын д.а. Ақырсыз жиын элементтерін біртіндеп санап шығуға болмайды
Құр емес жиынның әртүрлі элементтері болмаса , ондай жиын бірлік жиын д.а. Сонымен , егер жалғыз а элементі болып, ол М жиынында жататын болса, онда М жиыны бір элементті жиын деп аталады. Мұны былай жазып көрсетеміз: М= (а)
- Жиындар арасындағы қатыстар
А={а,b,c,d,e}және B{{b,d,k,f}жиындары берілсін. b мен d элементтері Ажәне В жиындарында жататынын көреміз. b мен d элементтерін А және В жиындарының ортақ элементтері деп атап , бұл жиындарды қиылысады дейді.
Егер жиындардың ортақ элементтері болмаса, онда оларды қиылыспайды дейді.
Енді А={а,b,c,d,e}және B{b,d,k,f}жиындарын қарастырайық. Бұл жиындар қиылысады, сонымен қатар В жиынының элементтері А жиынының да элементтері болып табылады.
Анықтама: Егер В жиынының әрбір элементі А жиынының да элементі болса, онда В жиыны А жиынының ішкі жиыны д.а. Бұл қатыс былай жазылады В с А
Оқылуы: В жиыны А жиынында қамтылған немесе В жиыны А жиынының ішкі жиыны.
Мысалы, егер А мектептегі бесінші сынып оқушыларының жиыны, ал В- осы сыныптағы ер балалар жиыны болса, онда В жиыны А жиынының ішкі жиыны болады, Яғни В с А.
Геометриялық фигуралар жиындарының ішкі жиындары геометрияда жиі кездеседі. Айталық, А- төртбұрыштар жиыны;В-параллелограммдар жиыны;С- ромбылар жиыны; Д- шаршылар жиыны болсын. Сонда D cCc B c A.
Құр жиын кез-келген жиынның ішкі жиыны болады, яғни ø с А сонымен қатар жиын өзінің де ішкі жиыны болады, А с А.
Сондықтан берілген А жиынының ішкі жиындарының құрамына міндетті түрде құр жиын мен сол А жиынының өзі де болады.
Мысалы, А={2,3,4} жиынының барлық ішкі жиындарын тізіп жазу керек. Олардың ішінде бір элементті жиындар {2}, {3},{4}; екі элементті жиындар {2,3}, {3,4},{2,4}, А={2,3,4} жиынының өзі және ø болады. Сонымен, берілген А жиынының сегіз ішкі жиыны бар
Жиындар туралы айтқанда, ол жиындардағы элементтердің орналасуына көңіл аудармай, тек қандай элементтерден тұратындығын зерттейміз. А={а,b,c,d,e}, B{с,а,d,e,b} жиындарын қарастырайық. Олар қиылысады және А жиынының әрбір элементі В жиынының элементі болады, яғни А с В, сонымен қатар В жиынының әрбір элементі А жиынының элементі болады, яғни В с А.
Анықтама. Егер А жиынының әрбір элементі В жиынының да элементі болса және керісінше, В жиынының әрбір элементі А жиынының да элементі болса, онда А мен В жиындары тең деп аталады да былай жазылады: А=В.
Бұл анықтаманы былай да айтуға болады: егер АсВ және ВсА болса, онда А және В жиындары тең деп аталады.
Көрнекілік үшін жиындарды дөңгелек не сопақ тәрізді фигуралармен бейнелейді. Оның ішінде сол жиынның элементтері ғана орналасады. Ол дөңгелектерді Эйлер дөңгелектерді деп атайды.
Мысалы, А={а,b,c,d,e}, B{с,d,e} болса, В жиыны А жиынында қамтылады (ішкі жиыны болады) деген қатысты Эйлер дөңгелегі арқылы 1 сызбадағыдай бейнеленеді.
А={а,b,c,d,e}, B{b,d,k,e} жиындарықиылысады, бірақ біреуі екіншісінің ішкі жиыны болмайды. Сондықтан олар Эйлер дөңгелегі арқылы 2 сызбадағыдай бейнеленеді.
Қиылыспайтын жиындар ортақ нүктелері болмайтын екі дөңгелек арқылы көрсетіледі(3-сызба).
| СВВ |
А
| В |
А В
1 сызба 2 сызба 3сызба
- Ішкі жиын. Жиынды толықтырушы
В жиынының әрбір элементі А жиынының да элементі болған жағдайда ғана, В жиыны А жиынының ішкі жиыны болып табылады, яғни B⊂A дейміз.
Венн диаграммасы тұйықталған пішіндерден тұратын жиындардан құралған.
Егер В жиынының барлық элементтері А жиынына тиісті болса, онда В жиыны А жиынының ішкі жиыны деп аталады. Мысалы; А= ( 1;2;3;4;5;6;7) осы жиынға тиісті жұп сандар жиыны А жиынының ішкі жиыны деп аталады. Осы жиынға тиісті жұп сандар жиыны А жиынының ішкі жиыны деп аталады. В= (2;4;6) .
Жиындардың байланыстары арақатынастары Эйлер дөңгелектері
( алғаш рет ХҮІІІ ғасырда өмір сүрген швейцариялық белгілі математик Леонард Эйлер пайдаланған.) В жиыны А жиынының ішкі жиыны екені Эйлер дөңгелектері арқылы кескінделген.
Жиынның толықтауышы.
А — қайсыбір кластағы барлық парталар жиыны, ал В — осы кластағы бір қатарда тұрған парталар жиыны, яғни ВÌА болсын. Егер В жиынына кластағы басқа қатарда тұрған парталарды қоссақ, онда А жиыны шығады. Бұл жерде біз В жиынын А жиынына дейін толықтырдық.
Сонымен, егер ВÌА болса, онда А жиынының В жиынына тиісті емес элементтерінің жиыны В жиынының А жиынындағы толықтауышы деп аталады және арқылы белгіленеді.
Егер А және В жиындарын Эйлер-Венн диаграммалары арқылы кескіндесек, онда А жиынындағы В жиынының толықтауышы штрихталған (15-сурет) бөлік болады.