(2.11) теңдеуінің дербес шешімін уақыттың гармоникалық функциясы, яғни sin t мен cos t функцияларының сызықтық комбинациясы түріндегі xкір (t) ықпалы үшін іздейді:
xкір (t) = Am cos( t + ) = Am cos t cos — Am sin t sin , (2.15)
Мұндағы бұрыштық жиілік, Am амплитуда, тербеліс фазасы.
= 0 десек, xкір (t) = cos t
Немесе Эйлер формуласын пайдаланса
xкір (t) = Am cos t = ( ) + ( ) . (2.16)
Ал жүйе сызықты болғандықтан, ондағы еріксіз тербелістерді қос әрекеттің нәтижесі деп көрсетуге болады.
Хшығ (t) = хы1(t) + хы2(t), (2.17)
мұндағы хы1(t) — xкір (t) = ( ) ықпалының (ұйытқудың) нәтижесі, ал
хы2(t) — xкір (t) = ( ) ықпалының (ұйытқудың) нәтижесі.
xкір (t) = ( ) ыпалының (ұйытқудың) шешімін хы1(t) = ( )Y(j ) түрінде іздейміз, мұндағы Y(j ) әзірге белгісіз жиілік функциясы.
(2.11) теңдеуіне xкір (t) мен хы1(t) — лардың мәндерін қойғанда, алатынымыз:
N (p) ( )Y(j ) = M (p) ( ) . (2.18)
Бұл теңдіктегі N (p) мен M (p) символдарымен бүркеліп тұрған дифференциалдау операциясы осы теңдіктің екі жағындағы уақытқа тәуелді функция үшін ғана жүзеге асырылады, демек,
N (p) = N (j ) , M (p) = M (j ) . (2.19)
Олай болса, (2.18) теңдеуін былай жазуға болады:
N (j )( )Y(j ) = M (j ) ( ) . (2.20)
Теңдеудің оң және сол жағын ( ) — ға бөліп, Y(j ) функциясын табамыз:
Y(j ) = M (j )／N (j ). (2.21)
Бұл функцияның алымы мен бөлімі M(р) және N(р)
oператорларындағы p-ның орнына j символын қою арқылы
табылады. Әрбір комплекстік функция тәрізді Y(j ) функциясын
да былайша көрсетуге болады:
Y(j ) = P( ) + jQ( ) = A ( ) , (2.22)
онда xкір (t) = ( ) — қа сәйкес шешім мына түрге ие
болады:
хы1(t) = ( )A( ) . (2.23)
xкір (t) = ( ) ықпалы (ұйытқуы) болғандағы жағдай үшін шешімді алдыңғыға ұқсас табамыз, яғни: хы2(t) = ( )Y(j ) , немесе A( ) = A(- ) жұп функция екенін, ал (- ) = — ( ) тақ функция екенін ескерсек, онда
хы2(t) = ( )A( ) . (2.24)
сонымен
xкір (t) = Am cos( t) = ( ) + ( ) .
әрекетінен туындайтын еріксіз тербелісті былай көрсетуге болады:
хы.шығ(t) = хы1(t) + хы2(t) = AmA( ) { + } =
= AmA( )cos[ t + ( )] . (2.25)
Сызықтық динамикалық жүйеде гармоникалық әрекет
тудыратын еріксіз тербелістерді де әрекеттен амплиутудасы мен
фазасы бойынша ерекшеленетін, әрекеттікіндей бұрыштық жиілігі бар уақытқа тәуелді гармоникалық функция болады.