Ықтималдықтар теориясы пәні жалпы кездейсоқ оқиғалардың ықтималды заңдылықтарын оқытады. Ықтималдықтар теориясының әдістері сенімділік теориясында, атқыштар және автоматты басқару теорияларында т.б. кеңінен қолданылады. Ықтималдықтар теориясы өндірісті жоспарлау мен құру үшін, технологиялық процесстерді анализдеу үшін т.б. қолданылатын математикалық және қолданбалы статистиканың негізі. Ықтималды және статистикалық әдістер зерттеуі қолданылмайтын білім облысы жоқ деп нақты айта аламыз.
Ықтималдықтар теориясында оқиға деп сынақ нәтижесінде қандай да бір шарттың орындалуын айтамыз.
Ықтималдықты классикалық анықтау тең мүмкіндікті үйлесімсіз оқиғалардың толық тобы үшін қолданылады. Ықтималдық дегеніміз — қандай да бір оқиғаның орындалуының сандық мөлшері.
Бұл топтың әрбір оқиғасын жағдай деп немесе элементарлық оқиға деп атаймыз. Әрбір оқиғаға сәйкес қолайлы және қолайсыз жағдайлар болады.
Мысал 1. Мерген нысанаға оқ атты. Оқ ату – сынақ, ал нысанаға тию – оқиға. Оқиғаны әдетте былай белгілейміз:
Бір ғана кездейсоқ оқиға – көп жағдайда біз ескере алмайтын, өте көп кездейсоқ оқиғалардың салдары. Бірақ, бақылау нәтижесінде оның барлығы бір ғана анықталған заңдылыққа бағынатынын көреміз: егер тиынды қанша көп рет сол бір жағдайда лақтырып, герб жағының түсу саны барлық лақтыру санының жартысына тең деп айтар болсақ, қателіктің өте үлкен емес екеніне көз жеткізе аламыз.
Егер қандай да бір сынақ нәтижесінде оқиғасы:
а) сөзсіз пайда болатын болса, онда бұл оқиға ақиқат оқиға деп аталады.
б) мүлдем пайда болмайтын болса, онда бұл оқиға жалған оқиға деп аталады.
в) не орындалатын, немесе орындалмайтын болса, онда оқиғасы – кездейсоқ (мүмкін) оқиға деп аталады.
Экономиканың басқа экономика-математикалық пәндер арасындағы алатын орны. Экономикалық құбылыстардың кездейсоқтық сипаты мен статистикалық заңдылығы. Кезейсоқ шамалардың сипаты. Бас жиынтық және таңдама. Статистикалық мәліметтерді өңдеу және жинау әдітері. Теоретикалық және таңдамалық мінездемелер. Экономикалық көрсеткіштер арасындағы статистикалық байланыс. Теоретикалық және таңдамалық ковариация. Корреляция коэффициенті.
3.1 Толық ықтималдықтың формуласы. Байес формуласы
Толық ықтималдықтың формуласы. оқиғасы, өзара үйлесімсіз, толық топ құратын оқиғаларының (болжамдардың) біреуімен бірге пайда болатын болсын. Сонымен қатар, және шартты ықтималдық белгілі болса, онда оқиғасының ықтималдығы мына формуламен анықталады:
, (1)
және болжамдар ықтималдықтардың толық тобын құрайтындықтан . Бұл формула толық ықтималдықтың формуласы деп аталады.
Мысал 1. Цехта өнімділігі бірдей түрлі станок бірдей заттар жасап шығарады. Бірінші түрдегі станоктың сапалы зат шығару ықтималдығы — 0,94, екінші түрдегі станок үшін бұл ықтималдық -0,9, ал үшінші түрдегі станок үшін — 0,85-ке тең. Жәшікте 10 зат жатыр, оның бесеуі бірінші түрдегі станокпен, үшеуі екінші түрдегі станокпен, ал қалған екеуі үшінші түрдегі станокпен жасалған. Жәшіктен кез келген бір зат алынды. Алынған заттың сапалы болу ықтималдығын тап.
Шешуі. — жәшіктен алынған зат сапалы деген оқиға болсын. Онда болжамдар: — зат бірінші түрдегі станокпен жасалған, — зат екінші түрдегі станокпен жасалған, — зат үшінші түрдегі станокпен жасалған деген оқиғалар. Есеп шарты бойынша: . Егер зат бірінші түрдегі станокпен жасалғаны белгілі болса, онда оның сапалы болу ықтималдығы: . Дәл солай, Ендеше, толық ықтималдықтың формуласын қолдансақ, жәшіктен алынған заттың сапалы болу ықтималдығы:
Мысал 2. Қандай да бір ұжымның келесі жылы акциясының өсу ықтималдығы 0,75-ке тең, егер елдің экономикасының дамуы жоғарғы деңгейде болса; ал егер елдің экономикасы төмендейтін болса бұл ықтималдық 0,30-ға тең. Экономисттердің болжамы бойынша келесі жылы елдің экономикасының өсуінің ықтималдығы 0,80. Экономисттердің болжамы ақиқат болса, онда келесі жылы ұжымның акциясының бағасының өсу ықтималдығын тап.
Шешуі. А оқиғасы– «келесі жылы ұжымның акциясының бағасы өседі» деген оқиға болсын. Жұмыстық кестесін құралық:
В i Болжамдар Вi Р(Вi) P(А/Вi) Р(Вi)P(А/Вi)
1 В1 – «экономиканың өсуі» 0,80 0,75 0,60
2 В2 – «экономиканың төмендеуі» 0,20 0,30 0,06
∑ 1,00 – P(А) = 0,66
Мысал 3. Екі жәшіктің әрқайсысында 6 қара және 4 ақ шарлар бар. Бірінші жәшіктен екінші жәшікке бір шар салынды. Одан кейін екінші жәшіктен бір шар алынды. Алынған шардың қара болу ықтималдығын тап.
Шешуі. А оқиғасы – «екінші жәшіктен алынған шар қара» деген оқиға болсын. Жұмыстық кестесін құралық:
Вi Болжамдар Вi Р(Вi) P(А/Вi) Р(Вi)P(А/Вi)
1 В1 – «бірінші жәшіктен екінші жәшікке салынған шар қара» 6/10 7/11 42/110
2 В2 – «бірінші жәшіктен екінші жәшікке салынған шар ақ» 4/10 6/11 24/110
∑ 1,00 – Р(А) = 0,60
Байес формуласы. оқиғасы пайда болатын сынау жүргізілді деп есептейік.
Болжамдар теоремасы ( Байес формуласы). оқиғасы орындалғаны белгілі болғаннан кейінгі болжамдар ықтималдығы былай есептеледі:
. (2)
Сурет 1.Ықтималдықтарды бағалау
Мысал 4. Жоғарыдағы 1-мысалда алынған заттың сапалы екені белгілі болсын. Осы алынған заттың екінші түрдегі станокпен жасалу ықтималдығы неге тең .
Шешуі. — болжамның оқиғасы орындалғанға дейінгі ықтималдығы, — оқиғасы орындалғаннан кейінгі ықтималдығы. Бейес формуласын қолдансақ:
Мысал 5. Экономикалық өсім жоғары болған аралықта америкалық доллардың өсу ықтималдығы 0,7, ал экономикалық өсім төмен болған жағдайда доллардың өсу ықтималдығы 0,4, және экономикалық өсім өте төмен болған жағдайда доллардың өсу ықтималдығы 0,2. Кез келген уақыт аралығында экономикалық өсімнің жоғары болу ықтималдығы 0,3, экономикалық өсімнің қалыпты болу ықтималдығы – 0,5 және өте төмен болу ықтималдығы – 0,2. Ағымдық уақытта доллар қымбаттағаны белгілі болса, бұл аралықтың экономикалық өсімнің жоғары болу аралығымен сай келу ықтималдығын тап?
Шешуі. Болжамдар: Н1 – «экономикалық өсім жоғары»; H2 – «экономикалық өсім қалыпты»; H3 – «экономикалық өсім төмен».
А оқиғасы – «доллар өседі» деген оқиға болсын. Онда: Р(Н1) = 0,3; Р(Н2) = 0,5; Р(Н3) = 0,2; Р(А/Н1) = 0,7; Р(А/Н2) = 0,4 и Р(A/Н3) = 0,2. Р(Н1/А) ықтималдығын тап.
Байес формуласын (2) қолданамыз :
осындай нәтиже аламыз:
Болжамдар Вi Априорлық ықтималдықтар P(Вi) Шартты ықтималдықтар
P(A/Вi) Үйлесімді ықтималдықтар Р(A∩Вi) Апостериорлық ықтималдықтар P(Вi/А)
В1 0,30 0,70 0,21 0,21/0,45 = 0,467
В2 0,50 0,40 0,20 0,20/0,45 = 0,444
В3 0,20 0,20 0,04 0,04/0,45 = 0,089
Қосынды 1,00 – 0,45 1
3.2 Дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамалар
Негізгі анықтамалар және кездейсоқ шамаларға арналған мысалдар
Кездейсоқ шама деп сынақ нәтижесінде қандай да бір мән (тек бір ғана) қабылдайтын шаманы айтамыз, әрі оның алдын-ала, сынақ жүргізілгенге дейін, қандай мән қабылдайтыны белгісіз.
Кездейсоқ шаманың қабылдайтын мәндері ақырлы бүтін сандар немесе тізбек түрінде жазылса, онда ондай кездейсоқ шамаларды дискреттік шамалар деп атаймыз.
Дискреттік үлестірімнің мысалдары.
Мысал 1. Биномдық үлестірім
Мысал 2 . Пуассон үлестірімі
Мысал 3. Геометриялық үлестірім
Мысал 4. Гипергеометриялық үлестірім
.
Мысал 5.
а) Х – заты бар партияның ішіндегі сапалы емес заттар саны. Х шамасының қабылдайтын мәндері: .
б) Х – нысанаға алғашқы оқ тигенше жүргізілген атыс саны, онда: .
3. Егер кездейсоқ шама өзінің мүмкін мәндерін [a, b] интервалында қабылдаса және бұл мәндерді бүтін сандармен нөмірлеуге болмаса, онда ол үзіліссіз кездейсоқ шама аталады.
Үзіліссіз үлестірімнің мысалдары:
Мысал 6. Бірқалыпты үлестірім
, .
Мысал 7.Биномдық үлестірім
Мысал 8. Қалыпты үлестірім ( параметрлерімен берілген)
Мысал 9. Көрсеткіштік үлестірім
Мысал 10. Коши үлестірімі
Мысал 11. Пуассон үлестірімі
Мысал 12. Х – мылтық ату кезіндегі оқтың түсу аралығы: .
Дискретті кездейсоқ шамалардың үлестірім заңдары. Х кездейсоқ шамасын толық анықтау үшін, Х-тің мүмкін мәндерінен басқа, осы мүмкін мәндер мен оған сәйкес ықтималдықтарының арасындағы байланысты көрсету қажет. Бұл байланыс Х шамасының үлестірім заңы деп аталады және дискретті кездейсоқ шама үшін оны мынадай үлестірім қатары түрінде беруге болады:
…
…
мұндағы .
Сонымен қатар, бұл байланысты график түрінде үлестірім көпбұрышы ретінде беруге болады.
Мысал 13. Екі симметриялы ойын сүйегі лақтырылған. Х – екі ойын сүйегінде түскен ұпай сандарының қосындысы. Үлестірім қатарын құр.
Шешуі. арқылы – бірінші сүйекте түскен ұпай санын, арқылы – екінші сүйекте түскен ұпай санын белгілелік, онда және пен — тәуелсіз кездейсоқ шамалар.
Әрбір оқиғаның ықтималдығы Кесте құралық:
у/z 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
х 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P
Сонымен, дискретті кездейсоқ шаманың есеп шартын қанағаттандыратын үлестірім заңын құрдық.
Кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары. Х кездейсоқ шамасының математикалық үміті деп:
а) Х – дискретті шама болса, онда
б) Х – үзіліссіз шама болса, онда
.
Х кездейсоқ шамасының мәндерінің оның математикалық үмітінен ауытқуының математикалық үміті нөлге тең: М[Х – М(Х)] = 0.
Математикалық үміт ретінде Х шамасының таралу центрін қарастыруға болады. Егер сынақ жүргізідген болса, онда жуық шамамен бақыланған Х мәндерінің арифметикалық ортасына тең.
Х кездейсоқ шамасының негізгі сандық сипаттамаларына, сонымен қатар, Х кездейсоқ шамасының дисперсиясы мен орташа квадраттық ауытқуы жатады. Х кездейсоқ шамасының дисперсиясы :
а) Х – дискретті шама болса, онда
б) Х – үзіліссіз шама болса, онда
Сонымен қатар, Х кездейсоқ шамасының сандық сипаттамасының қатарына орташа квадраттық ауытқу да енеді: .
Дисперсияны есептеу үшін мына жоғарыда берілген формуладан қорытылып шығатын мына формуланы қолдануға болады: σ2 = D(X) = M(X2) – М2(Х).
Мысал 1. Екі симметриялы ойын сүйегі лақтырылған. Х – екі ойын сүйегінде түскен ұпай сандарының қосындысы. Екі ойын сүйегінде түскен ұпай сандарының қосындысының математикалық үмітін тап.
Шешуі. арқылы – бірінші ойын сүйегінде түскен ұпай санын, арқылы – екінші ойын сүйегінде түскен ұпай санын белгілелік. Онда және пен — тәуелсіз кездейсоқ шамалар.
Әрбір оқиғаның ықтималдығы: Кесте құралық:
у/z 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
х 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P
Мысал 2. Кәсіпорын қандай да бір сатады, сату саны мың бірлік. Өнімнің айлық сатылу көлемі кестемен берілген. Айлық сатылымның күтілген орташа мәнін тап.
х товарының бірлік саны, мың, бірлік Р(х)
5000
6000
7000
8000
9000 0,2
0,3
0,2
0,2
0,1
1,0
Шешуі. Жоғарыдағы математикалық үміттің формуласын қолдансақ:
М(Х) = 5000∙0,2 + 6000∙0,3+ + 7000∙ 0,2 + 8000∙ 0,2 + 9000∙ 0,1 = 1000 + 1800 +1400 + 1600 + 900 = 6700.
Мысал 3. Күнделікті газет баспасы келесі күні басылуға қажетті жаңа жарнамалар қабылдайды. Газеттегі жарнамалардың саны әртүрлі факторларға байланысты: апта күні, маусым, экономиканың жалпы жағдайы және т.б. X – белгілі бір күнгі газеттегі жаңа жарнамалардың саны болсын. X – тек қана бүтін сан болатын кездейсоқ шама. Біздің мысалымызда X кездейсоқ шамасы мынадай мәндер қабылдайды: 0; 1; 2; 3; 4; 5 сәйкес ықтималдықтарымен 0,1; 0,2; 0,3; 0,2; 0,1; 0,1. X – кездейсоқ шамасының математикалық үмітін, дисперсиясын және орташа квадраттық ауытқуын тап
Шешуі.
X кездейсоқ шамасының үлестірім қатары:
xi 0 1 2 3 4 5
P(xi)= pi 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 0,1
Жарнамалардың санының математикалық үміті :
хi 0 1 2 3 4 5 n
P(хi) 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 0,1
хiP(хi) 0,0 0,2 0,6 0,6 0,4 0,5 М(Х) = 2,3
Күніне орташа шамамен газетке 2,3 жарнама сияды. Бұл – берілген жарнамалардың күндегі күтілген орташа саны. Дисперсия:
σ2 = [xi–M(X)]2P(xi) = (0–2,3)2 + (1–2,3)2 + (2–2,3)2 + (3–2,3)2 + (4–2,3)2 + (5 – 2,3)2 = 2,01. Орташа квадраттық ауытқу:
Жоғарыда айтылғандардан басқа, кездейсоқ шамалардың тағы да мынадай сандық сипаттамалары бар: мода, медиана, моменттер және т.б.
Бастапқы және центрлік теориялық моменттер.
Х кездейсоқ шамасының k-шы ретті бастапқы моменті деп Хк шамасының математикалық үмітін айтамыз:
Дәл осылай, дисперсия үшін: .
Х кездейсоқ шамасының k-шы ретті центрлік моменті деп шамасының математикалық үмітін айтамыз:
мен арасындағы байланысты оңай есептеп шығаруға болады:
Мысал 2. Х кездейсоқ шамасы үлестірім заңымен берілген:
X 0,1 2 10 20
p 0,4 0,2 0,15 0,25
Шешуі.
Онда 67,6404, 408,072.