АБЖ-нің орнықты және өтпелі жұмыс режимдері. Жүйелердің теңдеулерін шешу үшін операторлық әдісті қолдану. АБЖ элементтерінің беріліс функциялары. Типтік звенолардың уақыттық және жиіліктік сипаттамалары
Автоматикада пайдаланылатын математикалық аппарат
Комплекстік сандар. Айғақты және жорылған бөліктен құралған z = x + jy комплекстік айнымалысының мәнін геометриялық түрде комплекстік жазықтықтағы М1 нүктесімен бейнелеуге болады (6.1 сур.), мұндағы х осі айғақты, у осі жорылған, ал j – оператор. j = √-1. Осыдан j2 = 1, j3 = — j, j4 =1 болатындығын көруге болады. Z2 = x – jy комплекс саны Z1 = x + jy комплекс санына түйіндес комплекс саны деп аталады.
x + jy комплексінің проекциясы тікбұрышты координата жүйесінде х пен у –ке тең болатын вектор түрінде кескінделуі мүмкін. Демек х және у айнымалылары тікбұрышты координаталары, атап айтқанда жүйенің х абсцисса осі – айғақты ось, jу ордината осі жорылған (жорамал) ось болады.
Комплекстік сандарды тригонометриялық түрде де жазуға болады
z = x – jy = ρ(cosφ + jsinφ), мұндағы ρ = | z | = –комплекстік санның модулі, ал φ = ± arc tg y/x – комплекстік санның аргументі.
Эйлер формуласы еjφ = cosφ + jsinφ бойынша комплекстік сан жазылуының көрсеткіш түрін аламыз
z = ρejφ.
Лаплас түрлендіруі. Басқарудың автоматты жүйелерінде өтпелі процестерді зерттеу әдетте әртүрлі дифференциал теңдеулерді шешуге тіреледі. Осы мақсатқа операциялық есептеулерді пайдаланса, дифференциал теңдеулерді шешу жеңілдейді.
АБЖ қозғалысының дифференциал теңдеулерін шешудің негізгі кезеңдері мынаған тіреледі:
1) t айғақты айнымалысы f (t) функциясына, p = x + jy комплекстік айнымалысы F(p) функциясына түрленеді;
2) F(p) функциясы үшін шешім табылады;
3) F(p) функциясы үшін табылған шешім f (t) функциясына түрленеді.
Операциялық тәсілдер негізіне Лапластың тура және кері түрлендірулері жатады. Лапластың тура түрлендіруін мына түрде көрсетуге болады:
F(p) = f (t)e-ptdt,
ал кері түрлендіруін
f (t) = 1/2πj F(p) e-ptdt.
Мұнда интегралдауды жорылған оське қатарлас, одан бір с>b қашықтықта жатқан кез келген түзу бойында жүргізеді, мұндағы b — f (t) функциясының өсу көрсеткіші. F(p) функциясын түп нұсқа деп аталатын f (t) функциясының кескіні деп атайды. Лаплас түрлендірулерінің қысқаша жазылатын нұсқасы:
F(p) = L [f (t)];
f (t) = L-1 [F(p)].
Лаплас түрлендірулерінің 9 негізгі қасиеттерін Бекбаевтің кітабынан қарайсыздар.
Бірлік сигналдар. Автоматтық басқару теориясында кірістік шаманың уақытша функциясы ретінде өтпелі сипаттаманы анықтау үшін стандартты бірлік сигналдар қолданылады. Мұндай сигналдар қатарына бірлік секіріс пен шамасы шексіз үлкен, ал ұзақтығы шексіз аз бірлік импульсті жатқызуға болады.
Бірлік секіріс деп
t > 0 кезіндегі f (t) = [1] = 1 және
t < 0 кезіндегі f (t) = [1] = 0 шарттарын
қанағаттандыратын f (t) = [1] функциясын айтады. Бірлік секірісті β→0 кезіндегі 1 (t,β) қайсыбір функциясының шегі ретінде қарастыруға болады. 1(t,β) функциясы мына шарттармен анықталады:
t ≤ 0 кезінде 1(t,β) = 0,
0≤ t ≤ β кезінде 1(t,β) = 1/β,
және t ≥ β кезінде 1(t,β) = 1.
1(t,β) функциясының уақыт бойынша бірінші туындысы мына шарттамен анықталады
δ(t,β) = d/dt[1(t,β)] = 0, t < 0,
δ(t,β) = 1/β, 0 < t < 0,
δ(t,β) = 0, t > β.
δ(t,β) функциясы үшін δ(t,β) dt = 1 шартының дұрыс екендігінде дау жоқ.
Енді β – ны нөлге ұмтылдырып, шекке көшсе, онда
∫ δ(t,β) dt = 1
аламыз. Соңғы шартпен анықталатын δ(t) = lim δ(t,β) функциясын бірлік импульсі немесе дельта – функциясы дейді. Ол бірлік сатылы функциямен мынадай тәуелділікпен байланысады
δ(t) = d/dt[1].
Операторлық түрдегі бірлік секіріс кескінін анықтауға болады
F(p) = р e-pt f (t)dt = р e-pt dt = e-pt = 1,
ал дельта – функция үшін
L [δ1 (t)] = р1.
Лаплас түрлендірулерін қолдану динамиканың дифференциал теңдеулерін комплекстік айнымалыға қатысты алгебралық теңдеумен алмастыруға мүмкіндік береді, әрі динамикалық жүйелерді зерттеуді жеңілдетеді.