Одноканальные СМО имеются в любых службах сервиса. При медицинском обслуживании это врач, принимающий пациентов, при обслуживании пассажиров — билетная касса, при техническом обслуживании энергетического оборудования — пост электрика и т. д.
Примем к рассмотрению одноканальную СМО без ограничений на длину очереди и на длительность ожидания. Пусть на эту систему поступает поток заявок с интенсивностью λ=1/T_З, т. е. заявки поступают в среднем через интервал времени T_З. Система с интенсивностью обслуживания μ=1/T_в обслуживает их, т. е. на каждую заявку затрачивают период времени в среднем T_в. Требуется найти характеристики (критерии) работы СМО в установившемся режиме: L_сист и L_оч — среднее число заявок в системе и в накопителе (очереди); Π_сист и Π_оч — средние продолжительности пребывания заявки в системе и в очереди; P_зан — вероятность занятости канала (загрузка канала).
В данном случае ограничимся показательным законом распределения для T_З и T_в, т. е. λ=const; μ=const. Пронумеруем возможные состояния СМО по числу заявок в ней:
— s_0 — канал свободен;
— s_1 — канал занят (одна заявка обслуживается, очереди нет);
— s_2 — канал занят (одна заявка обслуживается, одна — в очереди);
…………………………………………………………………………
— s_k — канал занят (одна заявка обслуживается, k-1 заявка стоит в очереди).
Размеченный граф состояний показан на рисунке 6.1. Система переходит из s_0 в s_1 и далее в правом направлении под действием потока заявок с интенсивностью λ=const.
Поток восстановления (обслуживания заявок) с интенсивностью μ=const переводит систему назад — справа-налево.
Для определения финальных вероятностей, характеризующих относительную продолжительность пребывания системы в состоянии k, составим систему уравнений типа:
λP_0=μP_1}
λP_1=μP_2}
……………..} (6.2)
λP_k=μP_(k+1)}
В данной задаче число состояний СМО n→∞, сумма всех вероятностей ΣP_i=1,0. Введем коэффициент нагрузки системы ρ=λ/μ=const. Он характеризует среднее число заявок, поступающих за период обслуживания одной заявки, и показывает, во сколько раз период обслуживания больше или меньше периода следования (в среднем) заявок. Обычно ρ<1,0.
С учетом отмеченного, из системы (6.2) находим вероятности каждого состояния СМО
〖 P〗_0=1- ρ;}
〖 P〗_1=ρ(1-ρ);}
P_2=ρ^2 (1-ρ);}
……………..} (6.3)
〖 P〗_k=ρ^k (1-ρ)}
В установившемся режиме вероятности убывают по закону геометрической прогрессии. При любой нагрузке системы в диапазоне 0<ρ <1,0 вероятность P_0 больше остальных, т. е. относительная продолжительность свободного состояния системы больше продолжительности любого другого состояния.
Среднее число заявок в системе находим суммированием произведений возможных заявок k на их вероятности P_k:
L_ср=∑_(k=1)^∞▒k P_k,
где P_k определяем по уравнению (6.3). Окончательно получаем
L_ср=ρ/(1-ρ) (6.4)
Из полного числа заявок по (6.4) занятая обслуживанием доля пропорциональна вероятности занятости P_зан. Поскольку для СМО всегда выполняется условие P_зан+P_0=1, находим:
P_зан=1-P_0=ρ}
L_обсл=ρ} (6.5)
Длину очереди определяем разностью между полным и обслуживаемым числом заявок
L_оч=L_ср-L_обсл=ρ^2/(1-ρ) (6.6)
Наконец по формулам Литтла находим средние продолжительности пребывания в системе и в очереди
Π_сист=ρ/(λ(1-ρ))} (6.7)
Π_оч=ρ^2/(λ(1-ρ))}
Единицы измерений этих характеристик — час, сутки, год, в зависимости от единиц интенсивности поступления заявок.
Аналитическое описание характеристики одноканальной СМО иллюстрирует рисунок 6.2 для случая λ=0,5 ч^(-1), μ=1 ч^(-1). Из графиков и формул видно, что эффективность СМО зависит от коэффициента нагрузки системы массового обслуживания ρ, они существенно нелинейно. С увеличением р лишь занятость растет линейно. Другие характеристики СМО — длина очереди и продолжительность пребывания в ней — бесконечно возрастают. Таким образом, главным параметром СМО служит коэффициент нагрузки системы массового обслуживания. Для успешного функционирования системы важно выбрать правильное значение р. По характеристикам СМО (L_ср, L_оч, Π_сист, Π_оч, и т. п.) это сделать трудно. Поэтому приходится привлекать экономические показатели как для оценки очереди заявок, так и для оценки занятости каналов. Обычно эти связи дают конкурирующие эффекты и позволяют найти оптимальные параметры СМО.
Рис. 6.2. Характеристики одноканальной СМО
Другим примером простейшей СМО служит многоканальная система с отказами. Такие системы возникли с началом развития телефонизации. Их исследование привело к созданию теории массового обслуживания, в которой рассматриваемая СМО относится к классической задаче Эрланга.
Пусть имеется r каналов (линий связи), на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживания имеет интенсивность μ. Необходимо найти характеристики системы: A — абсолютную пропускную способность, равную среднему числу заявок, обслуживаемых в единицу времени; B — относительную пропускную способность, т. е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой; P_окз — вероятность отказа в обслуживании (канал занят); r_зан — среднее число занятых каналов.
Графу состояний такой системы соответствует рисунок 6.1. Из состояний слева в состояние справа систему переводит поток заявок с интенсивностью λ, а из состояний справа-налево — поток обслуживаний с интенсивностью kμ, где 1<k<r.
Состояние системы нумеруют по числу заявок, находящихся в системе. В данном случае оно совпадает с числом занятых каналов:
— s_0 — канал свободен, в системе нет ни одной заявки;
— s_1 — в системе находится одна заявка, т.е. один канал занят, остальные каналы свободны;
………………………………………………………..
— s_k — в системе находится k заявок, т. е. k каналов занято, остальные каналы свободны;
— s_r — в системе находится r заявок, т. е. все каналы заняты.
Если составить уравнения вероятностей для всех состояний, как в предыдущем примере, и решить полученную систему уравнений, то найдем следующие значения финальных вероятностей для нулевого P_0 и произвольного P_k состояний
P_0=(1+ρ+ρ^2/2!+⋯+ρ^r/r! )^(-1) }
P_k=ρ^k/k! P_0} (6.8)
По ним определим искомые характеристики СМО. Относительная пропускная способность — вероятность того, что заявка будет обслужена. Она будет численно равна разности между единицей и вероятностью отказа P_отк, т. е. вероятностью того, что все каналы заняты:
P_отк=P_r=ρ^r/r! P_0}
B=1-P_отк=1-ρ^r/r! P_0} (6.9)
Абсолютную пропускную способность получим, умножая интенсивность потока заявок на вероятность их обслуживания:
A=λB=λ(1-ρ^r/r! P_0 ). (6.10)
Среднее число занятых каналов — это математическое ожидание дискретной величины 0,1,2,…,r с вероятностями этих значений P_0,P_1,P_2,…,P_r
k=0P_1+1P_1+…+rP_r=ρ(1-ρ^r/r! P_0 ). (6.11)
Параметры и критерии многоканальной СМО сложным образом зависят от нагрузки системы и числа каналов. Для детального анализа следует изучать конкретные задачи.
Рассмотрим пример, который показывает, что СМО вносит существенные коррективы в традиционные представления об обслуживании электрооборудования.
Пример. Предположим, в хозяйстве имеется два дежурных электромонтера. Каждый час им поступает в среднем одна заявка на двоих на оперативное обслуживание электроустановок. Среднее время обслуживания заявки составляет один час. Итак, одна заявка поступает в течение 1 ч на двух электромонтеров. Интуитивно мы не предполагаем возможность отказа в обслуживании. Теперь проверим правильность этого предположения.
Дано: r=2; λ=1; μ=1; ρ=1. Определим характеристики СМО.
Решение. Финальные вероятности СМО найдем по (6.8):
P_0=(1+1+1^2/(1∙2) )^(-1)=0,4; P_1=1^1/1 0,4=0,4; P_2=1^2/(1∙2) 0,4=0,2
Вероятность отказа определим по (6.9): P_отк=1^2/(1∙2) 0,4=0,2. Среднее число занятых электромонтеров рассчитаем по (6.11):
k=ρ(1-ρ^r/r! P_0 )=1(1-1^2/(1∙2) 0,4)=0,8.
Из расчета видно, что не все поступающие заявки удовлетворяются. 20 % заявок остаются необслуженными, хотя в среднем занят лишь один электромонтер. Таким образом, первоначальное предположение оказалось ошибочным, что подтверждает несостоятельность расчетов по средним величинам в ситуациях с нерегулируемыми потоками событий.