Уақиға ағындарының сипаттамалары мен мысалдары. Жаппай кызмет көрсету теориясының элементтері
2. Қарапайым ЖҚК сипаттамалары
3. Эксплуатациялық есептерді шешуге жаппай қызмет көрсету теориясын қолдану
6.1. Примеры и характеристики потоков событий. Элементы теории массового обслуживания
Примеры и характеристики потоков событий. Прежде чем изучать методы теории массового обслуживания, рассмотрим, как связаны между собой потоки событий и что они представляют собой в теории надежности.
Объектом изучения в теории эксплуатации служит техническая система. Это совокупность подсистем и элементов, нацеленных на исполнение какого-либо задания. Способность системы выполнять свои функции оценивают идеализированными понятиями о состояниях, в пределах которых выделенные параметры системы остаются неизменными. Переход системы от одного состояния к другому называют событием.
В теории надежности, например, главными состояниями принимают работоспособность и неработоспособность, а центральным понятием служит событие перехода из работоспособного в неработоспособное состояние, которое называют отказом.
Из-за большого числа элементов и множества влияющих факторов отказы в системе возникают непрерывно и образуют поток отказов, или поток событий, характеризующих реальное состояние системы.
В общем случае потоком событий называют последовательность однородных событий, следующих независимо друг от друга н случайные моменты времени. Примерами служат: поток отказов электрооборудования в сельскохозяйственном предприятии, поток вызовов электромонтеров на оперативное обслуживание, поток подключений к телефонной станции и т.д.
Важной характеристикой потока событий служит его интенсивность λ — среднее число событий в единицу времени. Интенсивность потока событий обычно зависит от времени. В отдельных случаях интенсивность может быть постоянной величиной.
Кроме этого, потоки оценивают по регулярности, стационарности, последствиям и т.д. Поток считают регулярным, когда события следуют, друг за другом через равные промежутки времени. Поток событий называют стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. Когда на двух интервалах времени события не зависят друг от друга, тогда поток событий называют потоком без последствий. Поток событий считают ординарным, если появление группы (несколько) событий в небольшом интервале времени маловероятно.
По совокупности признаков выделяют простейшие, рекуррентные и др. потоки. Так, поток событий называют простейшим (пуассоновским), если он обладает сразу тремя свойствами: стационарностью, ординарностью и отсутствием последствий.
Элементы теории массового обслуживания. В системах с потоками событий возникает широкий круг задач, в которых ладо определить результаты применения изделий или ресурсов при случайной потребности в них. Случайный характер потоков наиболее ярко выражен при массовом применении изделий. Поэтому теорию, раскрывающую закономерности удовлетворения случайных потребностей, называют теорией массового обслуживания (ТМО). Примеры систем массового обслуживания (СМО) — различные службы сервиса, электро- и авторемонтные предприятия, билетные кассы и т. п.
Объектом изучения ТМО служит идеализированная СМО, которая состоит из следующих элементов. Источник требований (заявок) — это совокупность обслуживаемых объектов (парк электродвигателей, трансформаторов и т. д.). Накопитель — часть СМО, в которой поступившие требования находятся в очереди на обслуживание. Каналы — это приборы, исполнители и др., которые обслуживают требования ремонтом, заменой изделий или другими способами.
Работа СМО представляет собой случайный процесс перехода от одного состояния к другому. Если принять за исходное состояние s_0 — отсутствие заявки, то появление первой заявки скачком переводит СМО в состояние s_1 — имеется одна заявка; появление второй заявки скачком переводит СМО в состояние s_2 — имеются две заявки и т.д. Аналогичные изменения происходят при окончании обслуживания, потери заявки и т.п. Такие переходы изображают размеченным графом состояний, показанным на рисунке 6.1.
При теоретическом изучении используют следующие параметры СМО: N — количество источников заявок; r — число каналов обслуживания; λ=1/T_з — интенсивность потока заявок от одного источника; λ_Σ=λN — суммарная интенсивность потока заявок;
μ=1/T_в — интенсивность обслуживания (ремонта) в одном канале; Μ=μr — суммарная интенсивность обслуживания; T_з и T_в — средние продолжительности между заявками и между завершениями обслуживания (восстановление объекта) соответственно.
Для оценки эффективности СМО применяют различные критерии. Основными из них считают: Z — среднее число занятых каналов; L_сист и L_оч — среднее число заявок в системе и в накопителе (очереди); Π_сист и Π_оч — средние продолжительности пребывания заявки в системе и в очереди; P_зан — вероятность занятости канала (загрузка канала).
Рис. 6.1. Граф состояний процесса «гибели и размножения»
Предмет ТМО заключается в установлении зависимости между параметра-ми СМО и ее критериями. При этом выделяют прямые задачи, когда по исходным параметрам требуется определить значения критериев, и обратные задачи, когда надо выбрать параметры СМО, обеспечивающие заданную эффективность.
Практическая значимость методов ТМО возрастает за счет дополнительного использования экономических критериев, характеризующих, во-первых, степень удовлетворения заявок источника, а во-вторых, степень использования каналов. Совместное использование этих данных позволяет найти оптимальные системы массового обслуживания.
В зависимости от состава исходных данных и решаемых задач СМО имеют разнообразные варианты. По числу каналов: одноканальные и многоканальные. По дисциплине очереди: 1 — обслуживание с отказом (если каналы свободны, то заявки обслуживаются немедленно; если каналы заняты, то заявки получают отказ и теряются); 2 — обслуживание с ожиданием в очереди по мере поступления; 3 — обслуживание с приоритетом. По размерам источника заявок: 1 — открытые — источник имеет неограниченное число заявок; 2 — закрытые — число заявок ограничено. По характеру потока заявок: простейшие и произвольные потоки.
Каждые СМО характеризуются размеченным графом (таблицей) состояний. Простейшие СМО имеют граф в виде схемы гибели и размножения, показанной на рисунке 6.1. Все состояния системы вытянуты в одну цепочку. Каждое среднее состояние (s_1,s_2,…,s_(n-1)) связано прямой и обратной стрелками со смежными состояниями, а крайние s_0 и s_n — только с одним соседним состоянием. Главная задача ТМО — определение вероятности каждого состояния СМО.
В произвольный момент времени t система находится в состоянии s_k с вероятностью P_k (t). В установившемся режиме, т.е. при t→0 произвольные вероятности состояний стремятся к своим пределам, которые называют финальными вероятностями. Для их нахождения составляют систему уравнений, характеризующих все состояния. В уравнении для каждого состояния в левой части записывают произведение финальной вероятности этого состояния на сумму интенсивностей потоков, выходящих из этого состояния, а в правой — сумму произведений интенсивностей всех потоков, входящих в данное состояние, на вероятность тех состояний, из которых потоки исходят.
В ТМО установлены аналитические связи между критериями и параметрами СМО. Например, формулы Литтла связывают продолжительность пребывания заявки в системе Π_сист с числом заявок L_сист, продолжительность пребывания заявки в очереди Π_оч с ее длиной L_оч:
Π_сист=L_сист/λ} (6.1)
Π_оч=L_оч/λ}