Автоматты басқару жүйелерді құру үшін зерттелетін нысандарды алгебралық және дифференциалдық теңдеулермен өрнектеу қажет. Теңдеулердің статика немесе орныққан режим теңдеулері және динамика немесе өтпелі процес теңдеулері тәрізді екі түрі бар. Статика теңдеулері жоспарланған әсердің тұрақты болуына қарай, әдетте алгебралық болып табылады, ал динамика теңдеулері әдетте дифференциалды. Олар ауытқу күшінің әсерінен туатын өтпелі процес кезіндегі, немесе олар аяқталғаннан кейінгі жүйенің қалпын айқындайды. Динамика теңдеуін жасау үшін автоматты жүйе жеке буындарға ажыратылып, олардың әрқайсысы үшін сол буында өтетін процеске тән физикалық заң негізіне сәйкес теңдеулер құрылады. Автоматты жүйенің барлық элементтері үшін құрылған динамика теңдеулерінің жиынтығы автоматты басқару процесін анықтайды.
Буындарда өтетін процестерді айқындайтын физикалық заңдар негізінде автоматты басқару жүйесі буындары динамикасының теңдеулерін жасау автоматты жүйені есептеуде ең басты мәселе, өйткені бастапқы шартта жіберілген дәлсіздік кейнгі есептеулерді жоққа шығаруы мүмкін. Ал, өнеркәсіптегі болатын процестердің сан алуан болатындығынан жоғарыда айтылғандай буындардың динамика теңдеулерін құрудан басқа жалпы нұсқау беру мүмкін емес. Әр жағдайда нақты өнеркәсіптік қондырғы үшін дербес тәсіл қолданған жөн.
2.2 суреті
Хкір арқылы элементар буынның кірсіне ықпал ететін физикалық шаманы, ал, Хшығ арқылы сол буынның шығыстық параметрін белгілесек (2.2 сурет ), онда буынның дифференциал теңдеуі жалпы түрде мынадай болады:
A , (2.8)
мұндағы n — хшығ өзгерісі өрнектелетін дифференциалды теңдеудің реті; t — уақыт. (2.8) теңдеуі бейсызықты болуы ықтимал, өйткені Aі немесе Bі коэффициенттерінің біразы x — ке немесе t — ға тәуелді болуы мүмкін, сол себепті бұл теңдеуді пайдалану белгілі бір тиімсіздікті тудырады. Осыған орай, бейсызықты тәуелділіктерді Тейлор — Маклорен қатарларының көмегімен жіктеу арқылы сызықтандырады, әрі өлшемсіз координаттар ендірледі:
х = , хшығ= ,
мұндағы Хкір.0 және Хшығ.0 –базалық мәндер (айталық, x-тің максималды немесе номиналды мәндері). Автоматтық реттеудің кейбір есептерінде өлшемсіз координаттар ретінде олардың базалық мәндерден ауытқулары қарастырылады, яғни:
х = , хшығ= .
Бейсызықтықты сызықтыққа келтіріп және х өлшемсіз координаттарын енгізіп (2.8) теңдеуін мына түрде жазалық:
a0 + a1 +…+ anxшығ = b0 + b1 +…+ bmxкір ( 2.9 )
Мұндағы ai және bi — тұрақты коэффициенттер, егер (2.9) теңдеуін бастапқы нөлдік шартты ескере отырып, Лаплас бойынша түрлендірсе, онда ол келесі түрге келеді:
xшығ (p) (a0pn + a1pn-1 +…+ an) = xкір(p) (b0pm + b1pm-1 +…+ bm) (2.10)
немесе қысқарған түрде:
N (p) xшығ (t) = M (p) xкір (t), (2.11) мұндағы N (p) = a0pn + a1pn-1 +…+ an
M (p) = b0pm + b1pm-1 +…+ bm
(2.11) теңдеуінің екі шешуі болады: 1) теңдеудің оң бөлігі нөлге теңелгенде — жүйенің еркін тербелісі; 2) толық теңдеудің дербес шешімі жүйенің еріксіз тербелісі. Динамикалық жүйенің еркін тербелісі. N (p) xшығ (t) = 0 симоволдық өрнегі теңдеуге сәйкес:
a0 + a1 +…+ an = 0 (2.12)
мұндай теңдеудің шешімін xшығ = Aept түрінен іздестіру қажет. Шешімді теңдеуге қойып, A шамаға қысқартып, түбірі p болатын сипаттаушы теңдеу аламыз:
a0pn + a1pn-1 +…+ an = 0 (2.13)
Ал теңдеудің n түбірі болатындықтан, оларды әртүрлі деп ұйғарып, жүйенің еркін тербелісі үшін мына өрнекті алады:
Xepкін (t) = A1 ep1t + A2 ep2t + … + An epnt, (2.14) мұндағы A1, A2, A3,…, An — бастапқы шартқа тәуелді тұрақтылар, p1, p2,…… pn- сипаттаушы теңдеудің түбірлері. Автоматты реттеу жүйелері орнықты динамикалық жүйелер болып табылады да, олардағы еркін тербелістер уақыттың өтіуіне байланысты өшеді. Ендеше
xеркін (t) = 0.
Соңғы шарттың орындалуы үшін сипаттаушы теңдеудің барлық комплекс түбірлерінің нақты бөлігі теріс таңбалы болулары керек.