КИНЕМАТИКА
§ 4. Жалпы ескертпелер. Механика дегеніміз — материя қо.з-ғалысының ең жай формасы туралы ілім, яғни денелердің «е-месе олардың жеке бөліктерінің бір-бірімен салыстырғанда орын ауыстыруы жайындағы ілім.
Механика қағидалары да, басқа жаратылыс ғылымдарынікі сияқты, тәжірибе деректерін талдап қорыту арқылы тағайында-лады. Денелердің орын ауыстыруы жайындағы тәжірибелер (ең оңай тәжірибелерге жатады. Адам денелердің орын ауыстыруын күнделікті тіршілігінде, кез келген өндіріс процестерінде күнбе-күн көріп-бақылап отырады, механикалық үғымдардың көрнекі болуы да осыдан. Барлық жаратылыс ғылымдарының ішінде механиқаньщ алдымен өрістеп дамуының да себебі осы болады. Механиканың негізгі заңдарын ашып анықтауда Галилей (1564— 1642) едәуір еңбек сіңірген, оларды Ньютон (1642—1727) түжы-рымды түрде баяндады. Петербург Ғылым академиясында көп жыл бойы қызмет істеген Леонард Эйлер (1707—1783) тұңғыш рет механика заңдарын аналитикалық түрге келтірді, механика-ның дамуына ат салысып, үлкен роль атқарды. Алайда «класси-калық». механика деп аталатын Галилей — Ньютон механикасы тек козғалыстық санаулы түрлерін ғана бақылау нәтижесінде шықты, атап айтқанда, өлшемдері адам денесінің үлкендігімен шамалас денелердің (түскен тастың) немесе оған қарағанда өте үлкен денелердің (планеталардың) жылдамдығы бәсең қозға-лыстарын зерттеу нәтижесінде шықты. Классикалық механика-ның жуық болу себебі де осыдан. Ғылым дам« келе,^класоикалық механиканың тек өте көп атомдардан қүралған денелердің (ма-кроскопиялық денелердің) қозғалысын қарастырғанда және олардың жылдамдығы жарық жылдамдығынан гөрі аз болғанда ғана шындыққа дүрыс келетіндігі байқалды. Ленин: «…механика реалды баяу қозғалыстардың суреті екені, ал жана физика ора-сан жылдам реалды козғалыстардыц суреті екені күмәнсыз бо¬лып отыр»1 деген. Жылдамдықтары жарық жылдамдығымен шамалас макро-скопиялық денелердің қозғалыс заңдары Эйнштейн шығарған салыстырмалылық теориясында тағайындалады.
Жеке атомдардың немесе элементар бөлшектердің (микро-скопиялық денелердің) қозғалыстарын қарастырғанда да клас-сикалық механиканың заңдары дұрыс келмейді. Микроскопия-лык денелердің қозғалыс заңдары кванттық механикада таға-йындалады. Классикалық механиканың қолданылу шектерін кейінірек көрсетеміз. Қазірше сөз тек жылдамдығы жарық жыл-дамдығына қарағанда едәуір аз макроскопиялық денелер қоз-ғалысы туралы ғана болып отыр деп ұйғарамыз.
Мехаиикалық құбылыстардың үйреншікті, көрнекі болуы жә-не кейбір физикалық қүбылыстарды (мысалы, дыбыс қүбылыс-тарын) тек механикалық үғымдар арқылы ғана түсіндіру табыс-тары мынаған алып келіп соқты: XIX ғасырда көп физиктер үшін бір құбылысты түсіндіру — оны механикалық құбылыстарға кел-тіру болып табылды. Мүндай көзқарас философиялық механи-калық материализм талабына сай болды. Алайда физиканың одан әрі дамуы, әсіресе жарық пен электр туралы ілімдердің да-муы, көп қүбылыстардың өзінің меншікті заңдарына бағынатын-дығын және оларды қозғалыстың жай түріне—механикалык қозғалысқа келтіруге болмайтындығын көрсетті. Механикалык материализм өзінің орнын диалектикалық материализмге беруге тиісті болды, диалектикалық материализм болса материя қозға-лысының жалпы түрлерін қарастырады, нақты дүниенің түрлі-түрлі жақтарын есепке алады.
Энгельс бүл туралы былай деп жазған: «Табиғатты зерттеу-шілер қозғалысты ұдайы механикалық қозғалыс, орын ауыстыру деп қана қарастырады… Материяға қолданғанда қозғалыс деге-німіз жалпы өзгеріс болады. Осы сияқты жаңылысудан барлық нәрсені механикалық қозғалысқа келтіруге өршелене тырмысу келіп шығады…, ол қозғалыстың басқа формаларының ерекше сипаттарын көмескі етеді»2.
Механикалық қозғалыс мейлінше күрделі болып келуі және оның.сан алуан түрлері болуы мүмкін. Сондықтан механикада нақты қозғалысты жай қозғалыстарға жіктейді, оларды зерттейді де қайтадан күрделірек қозғалыстарға кешеді. Материялық нүк-тенің козғалысы ең жай механикалық қозғалыс болып табылады. Механикада материялық нүкте деп берілген есепте үлкендігі мен формасьш елемеуге балатын денені айтады. Нақты бір дененің өзін есептің шартына қарай материялық нүкте деп немесе шек¬телген өлшемі бар дене деп қарастыру жиі кездеседі. Мысалы, артиллерия снарядының үшуы туралы есеп шығарғанда, жуық-тап алғанда, оның формасы мен үлкендігін елеместен, снарядты материялық нүкте деп қарастыруымызға болады. Егер снаряд-тын ұшуына ауаның кедергісінің ететін әсерін және ұшып бара жатқандағы айналыстың ролін есепке алу қажет болса, онда снарядты материялық нүкте деп қарастыруға болмайды: біз онын формасын, үлкеңдігін т. т. есепке алуымыз керек. Сонымен қатар астрономдар жер шарының өз орбитасының бойымен Күнді ай-нала козғалуын қарастырғанда, оларға жер шарын материялық нүкте деп санауға болады.
Берілген анықтама бойынша механикалық қозғалыс дегеніміз жай орын ауыстыру болады, ал бір дене басқа материялық дене-лермен салыстырғанда ғана орын ауыстыра алады. Сондықтан бір дененің қозғалысын сипаттауға мүмкіндік жасау үшін алды-мен кандай денемен (немесе бір-бірімен салыстырғанда қозғал-майтын бір топ денемен) салыстыра отырып, берілген дененің орын ауыстыруын есептейміз, соған келісіп алуымыз керек. Сол дене (немесе денелер) санау системасы болып табылады. Соны¬мен әрбір қозғалысты белгілі бір санау системасымен салысты-рып қарастыруымыз керек. Түрлі жағдайларда санау системасын түрліше тәсілмен сайлап алуға болады, бірақ саиау системасын тиянакты етіп сайлап алған соң ғана, біз берілген қозғалысты анық сипаттай аламыз. Мысалы, біз бір нәрсені тастап жіберіп, оның козғалысын бөлмемен салыстырып қарастыруымызға бо-лрды; бүл жағдайда бөлменіц едені, қабырғалары және басқа жерлері санау системасын береді. Ал біз осы дененің козғалы-сын Күнмен немесе бір белгілі жүлдызбен салыстырып қарасты-руымызға да болады. Бірақ алынған нәрсенің қозғалысын немен салыстырып қарастырамыз, соған алдын ала мықтап келісіп алуымыз керек.
Практикада қозғалысты сипаттау үшін санау системасын қү-райтын денелерге бір координаталар системасын, мысалы кәдімгі түзу сызықты тік бұрышты координаталар системасын, байла-ныстыруға тура келеді. Қозғалысты бөлмемен салыстырып кара-ранда, мысалы, координаталардың басын белменің бір бұрышына орналастырып, осьтерін қабырғалардың бойымен бағыттауға болады; немесе координаталар системасының басын Күнге орна¬ластырып, осьтерін белгілі жұлдыздарға қарай жүргізуге бола¬ды. Алдағы жерде біз санау системасын сайлап алу туралы мә-селе карастырамыз, ал қазірше біз санау системасы әрқашанда мәлім және оған байланыстырған координаталар системасы.
«Микроскопиялық» деген сөз бұл арада бөлшекті микроскоппен көруге болады деген мағына бермейді; ол —элементар бөлшек (электрон, про¬тон т. т.), немесе біраз элементар бөлшектерден кұралған бөлшек, мысалы атом не жеке молекула деген магынада айтылып отыр.
2Ф. Энгельс, Диалектика природы, 1950, 197-бет.
рілген деп аламыз, оны қозғалысты сипаттау үшін пайдала-иамыз.
Механиканы әдетте кинематики және динамика деген екі бө-лімге бөледі: кинематикада дененід тек уақытқа байланысты орын ауыстыруы ғана қарастырылады; динамикада дененің қоз-ғалыс күйін өзгеріске ұшырататын денелердің өз ара әсерлері есепке алынады.
§ 5. Түзу сызықты бір қалыпты қозғалыс. Материялық нүкте деп ұйғарылған дененің қозғалысын, яғни оның OD түзуі нің (1-сурет) бойымен бір қалыпты орын ауыстыруын қарастырайык.
Кез келген t уақыт кезеңінде қозғалған дененің А нүктесі-не келгёндегі орнын s кесіндісі арқылы анықтай аламыз; ол
кесінді санаудың басы етіп алынған О нүктесінен басталып есептелінеді. Әрине, s уақытқа байланысты өзгереді. Егер бас-тапқы кезде (t=0) дене О нүк-тесінде түрған болса, онда s кесіндісі дұрысында түзу сы-зықтың бойымен қозғалған де-ненің жолымеҢр. дәл келеді. OXYZ координаталар система-Хсын сызып, берілген бір уақыт кезеңіндегі дененің орнын оның х, у, z координаталары арқылы сипаттауға да болады. Коор¬динаталар, 1-сурет-, тегідей етіп, сайлап алғанда, дененің х, у, z координаталары жолдың координата осьтеріне түсірілген sx, sy, sz проекция-ларына дәл келеді. Сонымен, қозғалған нүктенің орнын s ке-болады, сонда ол t уақытының
сшдісі арқылы сипаттауға функциясы болып табылады:
‘(1)
немесе сол нүктенің х, у, z координаталары арқылы сипаттауға болады, олар да уақыттың функциялары/
Бұл формулада кездесетін шамалардың тек екеуінің ғана өлшеу бірліктерін еркін сайлап алуға болады. Егер біз үзындық бірлігі етіп сантиметрді (см), уақыт бірлігі етіп секундты (сек) алсақ, сонда (4) формулаға лайық жылдамдықтың бірлігі етіп 1 сек ішінде 1 см жол жүретін бір қалыпты қозғалыстың жылдамды-ғын аламыз. Бұл CGS системасындағы жылдамдықтың бірлігі болады, оны қысқаша см/сек деп белгілейді. Бірліктердің баоқа системаларында жолдың бірлігі етіп метр (м) немесе километр (км) алынады, ал уақыт бірлігі етіп секунд (сек) немесе сағат (сағ) алынады, сонда осыған сәйкес жылдамдық бірліктері м/сек және км/сағ болады. (4) формуладан:
s = so+’y(t—t0). (5)
Еғер 4=0 жәңе s0 = 0 болса, онда (5) формула мына түрде жа-зылады:
s = vt; (5а)
мұндағы s — дененің t уақыты ішінде жүрген жолы. Біз (5а) формуланы (1) формуламен салыстыратын болсак, дене бір қалыпты қозғалған жағдайда оның жүрген жолы уақыттың сызықтық функциясы, екендігін көреміз. системасын
Жолдың уақытқа сызықтық тәуелділігін графикпен көрсетуге болады. Абсциссалар осінің бойына t уақытын, ординаталар осінің бойына s жолын саламыз (2-сурет). Сонда (5а) формулаға сәйкес, s жолының t уақытына тәуелділігін координаталар басынан еткен ОВ түзуі көрсетеді. Абсциссалар осінде Ob кесіндісі-мен кескінделген t уақыты аралы-ғында дене s жолын жүреді, ол жолОа кесіндісімен немесе оған тең ЬВкесіндісімен кескінделеді.
Сонымен, біздің. графигімізде v жылдамдығы а бұрышының тангенсі аркылы кескінделеді; v жылдамдығы неғұрлым зор болса, ОВ түзуі мен t уақыттар осі-нің арасындағы a бүрышы соғұрльгм үлкен болады.
§ 6. Тузу сызықты айнымалы қозғалыс. Айнымалы қозғалыс кезінде бірдей уакыт аралықтарында дененің жүрген жолдары бірдей болмайды. Мүндай жағдайда қозғалыстың орташа жыл-дамдығы деген ұғым ендіруге болады. Айнымалы козғалыстың берілген t — to уақыты аралығындағы орташа жылдамдығы, де¬не бір қалыпты козғала отырып, айнымалы козғалыс кезіндегі-дей, осы t — to уақыты аралығында да s — s0 жолын жүре ала-тын бір қалыпты қозғалыстың жылдамдығына тең, қозғалыстың орташа жылдамдығын v әрпімен белгілеп, былай жазуға болады:
— S — s0
Орташа жылдамдыктың (v) мәні сол жылдамдық қарастыры-лып отырған уакыт аралығына байланысты болады. Сондық-тан орташа жылдаімдық айнымалы қозғалыстың жеткілікті си-паттамасы бола алмайды. Мысалы, поезд екі станцияның ара-сында қозғалғанда бізге оның тек осы жолды тұтас жүргендегі орташа жылдамдығы ғана емес, жолдың жеке участоктарындағы поездың жылдамдығын да білу керек болуы мүмкін. Ол үшін біз жолды жеке As участоктарына бөліп, сол участоктарды жү-.руге кеткен At уақыт аралықтарын өлшеуіміз керек. Сонда:
бүл жолдың берілген As участогындағы орташа жылдамдығы бо¬лып таб_ылады.
Біз v орташа жылдамдығы анықталатын At уақыт аралық-тарын неғүрлым аз етіп алсақ, қозғалыс сипаттамасын ооғұр-лым дәлірек анықтаймыз. Негізінде уақыт аралығын өте аз етіп сайлап алып, сол уақыт аралығы ішіндегі қозғалысты бір қалыпты деп санауға да болады. Сонда осы аз уақыт аралығын-дағы орташа жылдамдық (v) қозғальгстың жеткілікті сипатта-масы болады; басқа сөзбен айтқанда, ол жолдың берілген нүк-тесіндегі v жылдамдығы болып табылады.
Сонымен, айнымалы. қозғалыстың жолдың берілген нүктесін-дегі (немесе берілген уақыт кезеңіндегі) жылдамдығы, жылдам-дық анықталып отырған At уақыт аралығы шексіз кемігенде, ор¬таша жылдамдық умтылатын шек болып табылады Сонымен.
Мұны математикаша былай жазады:
^ = lim4^ = lim^). (2)
(lbs
Дифференциалдық есептеуден Нт^ ^-д^ J жолдьщ уақыт бойынша алынған
туындысы екендігі мәлім; сонымен, жылдамдық сан жағынан жолдың уақыт бойынша алынған туындысына теқ:
v = 4F- (2а)
Осы айтылғанды график сызып түсіндіруге болады. Айнымалы қозғалыс кезінде жүрілген жолдың уақытқа тәу-елділігі, графикпен керсеткенде, қисық сызықпен кескінделеді.
lim — қысқартылған limit — шек — деген сез^ (Аударушы.)
Әр түрлі қозғалыстар үшін бүл қисықтың түрі әр түрлі болады; кейбір дербес жағдайда ол 3-су-ретте көрсетілген ОАВ қисығына үқсас болып келеді.
Суретке қарағанда At уақыт аралығындағы v орташа жылдам-дық мынаған тең: At уақыт аралықтарына бөлейік. Сонда (1) формула бойынша л-ші уақыт аралығында жүрілген жол: Asn = vtn-M„, мұндағы щ деп отырғанымыз Atn уақыт аралығындағы орташа жыл-дамдық. Графикпен көрсеткенде ол жол 4-суреттегі штрихталған жіңішке тік төртбұрыштың ауданы арқылы кескінделеді. Барлық t уақыттың ішінде жүрілген s жолы жеке At„ уақыт аралықта. .