Санау жүйесі

 

 

1. Позициялық санау жүйесі

Сан түсiнiгi – математикалық сияқты ақпараттануда да басты негіз. Егер математикада сандарды өңдеу әдiстерiне көп көңілбөлiнетiн болса, онда ақпараттану үшiн сандарды ұсынуды пайдаланады. Себебi, тек солар ғана жадтың қажетті қорын, жылдамдықты есептеуде жiберетiнқатені анықтайды.

Санау жүйесі депбелгiлiбiрмөлшердегі таңбалардың көмегімен сандарды өрнектеу мен жазудың жиынтығы. Санау жүйесіекі топқа бөлiнедi: позициялық және позициялық емес.

Позициялық санау жүйесіндецифрлықмәні оның орнына байланысты болды. Позициялық мән санау жүйесiнiңнегiзiндедәрежесі арқылы анықталады. Позициялық санау жүйесiнiңнегiзi деп қолданылатын цифрлар санын айтады.

Әрбір позициялық жүйенің нақты анықталған цифрлар алфавиті мен негізі бар. 
Позициялық санау жүйесінің негізі цифрлар санына тең және көрші позицияда тұрған бірдей цифрлардың мәндері неше есеге ерекшеленетінін анықтайды. 
Сандардың бізге үйреншікті жазылу жүйесі ондық жүйе деп аталады, ол он араб цифрларынан тұрады. Кез келген санды жазу үшін 0-ден 10-ға дейінгі 10 цифр қолданылады, оның негізі 10-ға тең; екілік жүйеде тек 0 және 1 цифрларын қолдануға болады, негізі-2; сегіздік жүйе сегіз цифрден тұрады, негізі – 8; он алтылық жүйеде ондық санау жүйесінің он цифрі және қалған 6 цифрдің орнына латын алфавитінің әріптері қолданылатын, барлығы он алты цифр бар, негізі – 16. 

Ондық 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Екілік 2 0,1

Сегіздік 8 0,1,2,3,4,5,6,7

Он алтылық 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 А(10),В(11),С(12),Д(13),Е(14),F(15)

2.Позициялық емес санау жүйесі

     Позициялық емес санау жүйесіндеәрбірцифрлықмәні оның алатын орнына байланысты емес. Мұндай санау жүйесiнiң мысалы ретіндеримдікжүйені алуға болады. Осы жүйеде жазылған ХХХ санында Х цифрі кез келген позицияда 10-ды бiлдiредi. Позициялық емес санау жүйесінде арифметикалық әрекеттерді орындау қиын болғандықтан, позициялық санау жүйесі қолданылады.

     Тарих бойынша ондық сандық жүйе ең көп тараған жүйе болса да,онымен қатар көптеген сандық жүйе осы күнге дейін адам өмірінде қолданып келеді. 
Мысалға Майя халқы – жиыралық, индеецтер –бестік және ондық , Европа революцияға дейін — он екілік( дюжина) , ал Қытайда – бестік санау жүйесін қолданған. 
Негізінде кез – келген сандық жүйе құруға болады. Сандық жүйенің негізін ретінде кез – келген бүтін санды алуға болады. Мысалы, 2 бүтін санды – екілік санау жүйесі деп, 3 бүтін санды – үштік санау жүйесі деп және т.б. сандарды алуға болады. 
Екілік санау жүйесін 1850 жылы ағылшын математигі Дж.Буль ойлап тапқан. Бұл жүйе екі санмен: 0 және 1 өрнектеледі. 

3.Позициялық санау жүйелерінде көп таңбалы сандарды қосу және азайту.

Қосу.Екілік жүйеде сандарды қосу екілік жүйедегі сандарды қосу кестесіне негізделген.Екілік жүйеде қосу кестесі өте қарапайым.Тек 1+1 қосу амалын орындағанда ғана жоғары разрядқа көшіру орындалады.

                                    0+0=0

                                    0+1=1

                                    1+0=1

                                    1+1=10

Екілік жүйедегі сандарды қосуға бірнеше мысалдар қарастырайық;

Ондық санау жүйесін есептеуге тексеру жүргіземіз.Ол үшін екілік санау жүйесіндегі санды ондық санау жүйесіне көшіріп,оларды қосамыз;

1001₂=1*2³+0*2²+0*2¹+1*2⁰=9₁₀

1010²=1*2³+0*2²+1*2¹+0*2⁰=10₁₀

9₁₀+10₁₀=19₁₀

Енді алынған нәтижені ондыққа көшіреміз;

10011₂=1*2⁴+0*2³+0*2²+1*2¹+1*2⁰=19₁₀

Нәтижелерді салыстыра отырып,қосудың дұрыс орындалғанына көз жеткіземіз.

Азайту.Екілік жүйеде азайту амалын орындау екілік жүйедегі сандарды азайту кестесіне негізделген.Азайту амалын орындау барысында әрдайым абсолют шамасы бойынша үлкенінен кішісі алынып,үлкен санның таңбасы қойылады.

                                 0-0=0

                                 0-1=1

                                 1-0=1

4.Позициялық санау жүйелерінде сандарды көбейту және бөлу.

Ежелгі Мысыр тәсіліменсандарды көбейту ережесін қарастырайық:

• Екі қатар бағаннан тұратын кесте құрамыз;
• Сол жақ бағанға 1-ден бастап екі еселенген сандарды, оң жақ бағанға екінші көбейткіштен бастап екі еселенген сандарды жазамыз;
• Әрбір келесі сан алдындағы санның екі есесіне (өзіне-өзі қосқанға) тең;
• Сол жақ бағандағы соңғы сан бірінші көбейткіштен артпауы тиіс;
• Сол жақ бағандағы сандардың ішінен қосындысы бірінші көбейткішке тең болатын сандарды төменнен жоғары қарай сайлап алып, солардың тұстарына көлбеу сызықтар қою керек;
• Көлбеу сызықтар жүргізілген сандарға қарсы тұрған екінші қатардағы сандарды қосу керек.

Ежелгі Мысыр тәсілімен сандарды бөлу амалы көбейтуге кері бағытта келтіріледі:

• Екі қатар бағаннан тұратын кесте құрамыз;
• Сол жақ бағанға 1-ден бастап екі еселенген сандарды, оң жақ бағанға бөлгіштен бастап екі еселенген сандарды жазамыз;
• Әрбір келесі сан алдындағы санның екі есесіне (өзіне-өзі қосқанға) тең;
• Оң жақ бағандағы соңғы сан бөлінгіштен артпауы тиіс;
• Оң жақ бағандағы сандардың ішінен қосындысы бөлінгішке тең болатын сандарды төменнен жоғары қарай сайлап алып, солардың тұстарына көлбеу сызықтар қою керек;
• Көлбеу сызықтар жүргізілген сандарға қарсы тұрған сол жақ қатардағы сандарды қосу керек.

5.Ондық санау жүйесіндегі сандарды ондық емес санау жүйесіне және керісінше айналдыру ережелері

Ондық санау жүйесiнегi сандарды өрнектеу үшін 0-9 дейiнгi араб цифрлары қолданылады:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Мыс: 234=200+30+4

2 жүздіктер разрядынан, 3 ондықтар разрядынан, 4-бiрлiктер разрядынан тұрады.

Ондық жүйе позициялық болып табылады, өйткені ондық санды жазуда цифрдіңмәні оның позициясына немесе санда орналасқан орнына байланысты. Санның цифрынабөлiнетiн позицияны разряд деп атайды.

Егер 234 санын қосынды түрінде былай жазамыз: 2*10²+3*10¹+4*10⁰ Бұл жазбадағы 10-саны санау жүйесіннегiздеушi. Санның әрбірцифріүшін 10 негiздеушiцифрлық орнына байланысты дәрежеленеді және осы цифрғакөбейтiледi.

Бiрлiктерүшiн – 0; ондықтар үшiн – 1, жүздiктерүшiн – 2-ге тең негiздеушi дәреже және т.с.с

Егер сан ондық бөлшек болса, ол теріс дәрежеде жазылады. Мыс: 38,956=3*10¹+8*10⁰+9*10^-1+5*10^-2+6*10^-3

Компьютерде ондық емес екiлiк санау жүйесі, яғни екінегiздеушiсi бар санау жүйесі қолданылады.

Ондық санау жүйесiндегi санды екiлiк санау жүйесіне ауыстыру үшін санды 2-ге бөлу керек. Алынған бөлiндiекіденкiшi болғанша бөлiнедi де, қалған қалдықты кері бағытта жазады. Мыс:

            129:2=64 (1)                          129₁₀=10000001₂

            64:2=32   (0)

            32:2=16   (0)

            16:2=8    (0)

            8:2=4      (0)

            4:2=2      (0)

            2:2=1      (0)

            1:2=0      (1)

 

Ондық санау жүйесiндегi санды сегiздiк санау жүйесіне ауыстыру үшінекiлiкжүйесіне ауыстырған әдiстi қолданады. Бірақ  бұл кезде санды сегізгебөледі. Мыс:

            129:8=16 (1)                          129₁₀=201₈

            16:8=2    (0)

            2:8=0      (2)

Ондық санау жүйесiндегi санды он алтылық санау жүйесіне ауыстыру үшін тек санды сегiздiң орнына он алтыға бөлу керек. Мыс:

            129:16=8 (1)                          129₁₀=81₁₆

            8:16=0    (8)

1. Басқа санау жүйесiндегi сандарды ондық санау жүйесiне ауыстыру

Екiлiк санау жүйесiндегi санды ондық санау жүйесiне аудару:

10000001₂=1*2⁷+0*2⁶+0*2⁵+0*2⁴+0*2³+0*2²+0*2¹+1*2⁰=128+1=129₁₀

Сегiздiк санау жүйесiндегi санды ондық санау жүйесiне аудару:

201₈=2*8²+0*8¹+1*8⁰=128+1=129₁₀

Оналтылық санау жүйесiндегi санды ондық санау жүйесiне аудару:

81₁₆=8*16¹+1*16⁰=128+1=129₁₀