Сан дегеніміз – математиканың негізгі түсінігі, ол мөлшер анықтауда, салыстыруда, объектілерді нумерациялауда қолданылады. Ал жазба түрінде сандардың қызметін — цифрлар атқарады.Цифрлар арқылы сандар таңбаланады. Алғашқы санның дамуы жайында нақты мәліметтер белгісіз.Сан әуел баста заттарды санаудың қажеттілігінен туған математикалы ұғымдардың бірі.
Ерте замандарда адамдарға өздерінің күнделікті өмірінде кездесіп отыратын әртүрлі нәрселерді санауға тура келген. Сонда адамның тек екіге дейін ғанасанай білетін шағы болған. Екі саны адамның көру және есту мүшелерімен, жалпы алғанда нәрселердің нақтылы жұбы мен байланыстырылған. Үнділердің «көз», тибеттіктердің «қанат» деген өздері «2» санын білдіретін болған. Егер заттар саны 2-ден артық болса, алғашқы қауым адамы олар туралы тек «көп» дейтін болған. Адам бірте – бірте ғана үшке дейін, одан кейін беске, онға дейін т.с.с. санап үйренген.
«Алғашқы сандар қалай пайда болды?» деген сұрақ туындайды. Нақты мәлімет жоқ десек те 5000 жыл бұрын Египет пен Месопотамиядан алғашқы цифр таңбалары табылды. Бұл елдер бір – бірінен арақашықтығы біршама алыс болса да санау жүйелері өте ұқсас, тіпті бір қолданған әдістері де бірдей. Египеттік абыздар (адамдар) парустарға таңбалап жазса, Месопотамиялықтар жұмсақ сазға жазып таң балағын.
Ежелгі Египетте: бірді — қазықпен, онды — қос қол тәрізденіп белгіленген, жүздік — бүктелген пальма жапырағымен, мың — молшылық символы ретіндегі лотос гүлімен, жүз мың — бақамен белгіленген,өйткені Ніл тасығанда бақалар тіпті көбейіп кететін.Мұнан беріректе жеке дыбыстарды белгілеу үшін айрықша таңбалар, яғни әріптер пайда бола бастады.Әріптер цифрлар ретінде де қолданылған уақыт болған.Ежелгі гректер, славяндар және басқа да халықтар осылай істеген.Әріптерді сандардан айыру үшін славяндар сандарды белгілейтін әріптердің үстіне «титло» деп аталған айрықша таңба салатын.Алфавиттік нумерация да бара-бара қолайсыз болып шықты.Практика қажеттері, өндіріс пен сауданың дамуы осы заманғы қолайлырақ цифрлардың жасалуына және қазіргі жазбаша нумерацияның пайда болуына септігін тигізді.
Ең көне санау жүйесі – екілік санау жүйесі, ғалымдардың болжауы бойынша, бұл жүйені бір кездері Египеттіктерпайдаланған. Екілік санау жүйесінде небары сандық екі таңба ған бар, ол 1 мен 0 цифрлары. Бұл жүйенің артықшылығы – есептеулердің жеңіл орындалуы болса, кемшілігі – сандардың жазылуының шұбыраңқлығы қолайсыз. Қазіргі жылдам есептейтін электронды машиналард жасауға екілік санау жүйесі пайдаланылады.
Мұнан беріректе жеке дыбыстарды белгілеу үшін айрықша табалар, яғни әріптер пайда бола бастады. Әріптер цифрлар ретінде де қолданылған уақыт болған. Ежелгі гректер, славяндар және басқа да халықтар осылай жасаған. Әріптерді сандардан айыру үшін славяндар сандарды белгілейтін әріптердің үстіне «титло» деп аталатын ерекше таңба салатын. Алфавиттік нумерация деп аталған бұл нумерация да бара – бара қолайсыз болып шықты, өйткені бұл нумерация бойынша айтарлықтай үлкен сандарды тікелей жазып көрсетуге болмайтын еді. Практика қажеттері, өндіріс пен сауданың дамуы осы заманғы қолайлырақ цифрлардың жасалуына және қазіргі жазбаша нумерацияның пайда болуына септігін тигізді.
Африкалық тайпалардың санның пайда болу тарихы мен санауының өзіндің ерекшеліктері бар. Африкадағы тайпалар мен халықтар санағанда бір қолының бес саусағын ғана пайдаланған, олар бес – бестен санаған, оларда негізі бес саны болатын бестік санау жүйесі қалыптасқан. Бұл санау жүйесінде алғашқы бес санның ғана атаулары бар. Олар «алты» санын «бес – бір» деп атаған. Осы санау жүйесінің жұрнақтары Скандинавия халықтарының тілдерінде сақталған.
Ежелгі Грекиядасан және санау жүйесінің өзіндік ерекшелігі бар. Санау жүйесі 2 ерекшелігі, ол–аттичесикалықжәнеионичесикалық.
Аттичесикалық жүйені грекиялықтар д.з.д. 5 ғ-дан бастап қолданады. Мұнда он сандық қамтылды (бірақ 5 саны да белгіленіп тұрды), аттичесикалықжүйеде ұжымдық сандардың қайталануымен жүрді. 6, 7, 8, 9сандарымынадай таңбалармен белгіленді:
Ежелгі Гректердің екінші сандық жүйесі ионисикалық санау жүйесі алфавиттік — Александрдың кезеңінде кең тарады. Гректер сандармен әріптерді шатастырмаулары үшін таңбаның алдына горизонтальді кескін қойып отырған. Мысалы, 532 санын былай жазған .
Рим елінің сандарының шығу тарихы мен нумерациясы. Басқа сандардың түрлеріне қарағанда Римдік сандар жүйесі көпке таныс. Біздің заманымызға дейінгі 7 ғасырда Рим империясын Этрускилер жаулап алады, содан бастап Шығыс Жерорта теңізінің мәдениеті римдік терге әсер ете бастайды. Міне осыдан бастап Римдіктер мен Аттикалықтардың санау жүйесінде ұқсастықтар қалыптасты. Екеуі де ондық санау жүйесін қолданды, бірақ ең негізгі орынды бес саны болды. Тағы ерекшелігі олар сандарды таңбалауда кей сандарды екі реттен қайталап таңбалады. Ескі Римдік символдар I, V, X, Q (немесе Е, немесе Д) және f. Ғылыми зерттеулер бойынша римдік таңбаланулардың белгілі мағынасы болған, мысалы: V- бұл алақанды тік ашып білек тұстарын біріктіргендегі көрініс, ал Х ол айқасқан қолдар деп айтылады.
Мына кестеде Римдік таңбалану көрсетілген:
Ежелгі Еврей халқының сандарының шығу тарихы мен жазбаша нумерациясы. Сандардың алфавиттік нұсқасы мен оның ионикалық жүйеде қолданылуына қарай Семит халқы санды қалыптастырушылар деп таласқа түседі. Бірақ кішігірім өзгертулерден кейін бұл жүйе еврей халқына тиесіленді. Сандардың алфавиттік мағнасын ашып қолдану шамамен б.з.д.2-3ғасырларда көрініс алды.Мысалы Еврейлер 6789 санын былайша таңбалайды:
Қытай халқының сандарының шығу тарихы мен жазбаша нумерациясы. Көне сан және санау жүйелерінің пайда болған жері Қытай, сондай-ақ Жапония. Бұл таяқшаларды орналастыру негізінде пайда болған. Олар таяқшаларды вертикальді қою арқылы 60, 70, 80 және 90 сандарын таңбалады. Мысалы: Қытайлықтар 6789 санын былай жазады:
Белгілі орыс саяхатшысы Н.Н. Миклухо-Маклай Тынық мұхитының аралдарында көп жүріп кей бір тайпалардың санау жүйесіндегі 3 ерекшелікті атап көрсетті: адамға арналған , аңдарға және жиһаздарды санау түрі.
Үнді халқының сандарының шығу тарихы мен жазбаша нумерациясы шамамен 7 ғасырда пайда болған.Алайда бұл – Үнді цифрлары әуел бастан-ақ қазіргідей болған еді деген сөз емес.Халықтан халыққа ауыса отырып, әуелгі үнді цифрлары сан ғасырлар бойы әлденеше рет өзгере келе қазіргі түріне түскен.
Араб сандарының пайда болу тарихы.Араб сандары яғни Арабиядан бастау алады. Олар алғашында хиджрадан кейін сөзбен белгілеп , содан соң Ежелгі Гректер сияқты алфавиттің әріптерімен белгілей бастады. Араб сандары европалықтарға Х ғасырда христиандық Барселона мен мұсылмандық Кордова халифаты арқасында белгілі болды. Араб цифрлары араб мемлекеттерінде және Египеттен өзге мемлекеттерде қолданылады. Шығыс араб елдерінде (9 ғ-дан бастап) қарастырылды.Мысалы : 6789 саны арабша былай таңбаланады :
Жалпы алғанда Еуропада сандар теориясының дамуы П.Ферма (1601 — 65) зерттеулерінен басталады. Ферма өзінің атақты теоремасын дәлелдеген және бұл теорема салыстыру теориясында үлкен рөл атқарған кіші теорема болды. Сандар теориясының дамуына ресейлік ғалымдар П.Чебышев (1821 — 94), А.Марков (1856 — 1922), И.Виноградов (1891 — 1983), т.б. үлес қосқан. Қазақстанда сандар теориясының дамуын арттыруда Б.Оразбаев шәкірттерімен бірге жемісті еңбек етті.
Сан және санаудың даму тарихын оқып іздену барысында мен санның шығу тарихын оқып, талай ғасырдан сұрыпталып келген әр халықтың жазбаша нумерациялауларымен таныстым. Әр мемлекет өзінің санды қолдану тұрғысындағы ерекшеліктерімен, яғни олардың тасқа, сазға немесе папирустарға түсірген сызбалары негізінде сан ұғымының қалыптасқанын білдім. Цифр деген сөздің төркіні арабтың«Әс-сифр» деген сөзінен алынған, ал оның мағынасы үнді халқының бос орын – «Сунья» деген сөзінің аудармасы екенін ұғындым. Жұптап санау, саусақпен санау, заттармен санау сынды нәрселердің жемісі ол – сан. Халқымыз қашан да 3,5,7,9, тіпті 10 сандарына ерекше мән беріп, оның астарына терең үңілген. Тағылымдық жағы, тәрбиелік мәніне ден қойған. Математикада әрбір санның шығу тарихы, өзіндік сыры бар, орны бар.
Уақыт өте келе адамдар сандарды атауды ғана емес, сонымен қатар оларды белгілеуді де, сондай-ақ олармен амалдар қолдануды да үйренді. «Натурал сан» терминін тұнғыш рет римдік ғалым А. Боэций (шамамен 480-514 жылдар) қолданған. Натурал сан ұғымы қалыптасқаннан кейін сандар дербес объектілерге айналды.
ХІХ ғасырда ғалымдардың назары натурал сандармен есептеулер жүргізуге негіз болған теорияларды құруға және логикалық тұрғыдан негіздеуге аударылды. Натурал сандар ұғымының өте қарапайым және табиғи көрінетіні сондай, ғылымда ұзақ уақыт бойы оны қандай да болсын қарапайым ұғымның терминдерімен анықтау туралы мәселе қойылған жоқ.Бөлшектердің пайда болуы шамаларды өлшеумен пайда болды. Ерте кезде адамдарға сауда – саттық және түрлі есептеу жұмыстарында бөлшектер мен үлестерді есептеу қажет болған. Алғашында математикада бөлшектерді «сынық сандар» деп атаған. Бөлшектер туралы түсініктің дамуында үш түрлі бөлшектер ұғымы қалыптасқан.
- Бірлік бөлшектер – алымдары 1 болатын бөлшектер.
- Жүйеленген бөлшектер. Жүйеленген бөлшектің алымы кез келген бүтін сан, бөлімі тек 10 санының немесе 60 санының дәрежелері ғана болған.
- Жалпы түрдегі бөлшек. Жалпы түрдегі бөлшектің алымы да , бөлімі де кез келген натурал сан болды.
Бөлшектердің мұндай әртүрлілігі есептеу және өлшеу жұмыстарында көптеген қиындықтар туғызды.Бөлшек ұғымының дамуы ғылым мен сауда-саттық жұмыстарында өркендеген елдерде: Мысырда , Вавилонда, Үндістанда және Римде қалыптасты. Ертеде әртүрлі елдер бөлшек сандарды белгілеуде өздерінің түрліше символдарын енгізді. Мысалы, мысырлықтар 1\10-ді Белгісімен, 1\2-ні- — белгісімен және 1\3 –ді -белгісімен көрсеткен. Ежелгі Үндістанда жай бөлшектерді жазуда оның бөлшек сызығын сызбай, алымын үстіне , бөлімін астына жазған.