АНАЛИТИКАЛЫҚ ФУНКЦИЯ, голоморфты функция — дәрежелік қатар түрінде өрнектелетін функция. А. ф. теориясының негізі 19 ғ-да француз математигі О. Коши (1789 — 1857), неміс математиктері Б.Риман (1826 — 66) және К. Вейерштрасс (1815 — 1897) еңбектерінің нәтижесінде қаланды. Математикада А. ф. ұғымы әр түрлі көзқараспен қалыптасты. Олардың біріне алдымен О. Коши, кейіннен Б. Риман одан әрі дамытқан алғашқы ұғымның негізіне функцияның құрылымдыққас и е т і, яғни функцияның комплекстік айнымалы шама бойынша туындысы болуы (немесе дифференциалдануы) алынды. Бұл көзқарас функцияны геометрия тұрғысынан сипаттауға мүмкіндік берді. К. Вейерштрасс дамытқан екінші көзқарас — функцияны дәрежелік қатар арқылы өрнектеу мүмкіндігіне негізделген; ол функцияны кескіндеуге болатын а н а литикалық аппаратп е н байланысты. А. ф-ның дәл анықтамалары төмендегідей болып келеді. Комплекстік жазықтықта D аймағы беріліп, осы аймақта w=ʄ(z)=ʄ(х + іу) функциясы анықталсын делік және z0нүктесінің өсімшесі ал оған сәйкес ʄ(z0) функциясының өсімшесі )=ʄ(z0+ , lim =ʄ’(z0)=Ах+іАу болсын.Сонда lim шамасы ʄ(z) функциясының z0 нүктесіндегі туындысы деп аталады. Осы нүктеде ʄ(z) функциясы—дифференциалданатын функция. Ал D аймағының барлық нүктелерінде дифференциалданатын функция осы аймақта А. ф. болады. Егер функция z0 нүктесінің аймағында А. ф. болса, онда ол осы аймақта ʄ(z) функциясы мынадай дәрежелік қатар түрінде өрнектеледі: ʄ(z)=а0,+а1,(z-z0)+ …+аn,(z -z0)п+…(1).
Керісінше, (1) қатармен өрнектелетін функция z0 нүктесінің аймағында А. ф. болады. А. ф-ның негізгі қасиеттері тәуелсіз айнымалы шаманың комплекстік мәндеріндегі өзгерістерімен сипатталатындықтан А. ф. теориясы, көбінесе, комплекстік айнымалы шамалар функциясының теориясы деп те аталады. А. ф- ларға көпмүшелер, тригономет- рилық функциялар, көрсеткіштік функция, цилиндрлік функцияға жатады. А ф-лар теориясы физикада, механикада, техникада, сондай-ақ арнаулы функциялар теориясында және математиканың басқа салаларында пайдаланылады.