Бір фазалық синусоидалық ток және оны сипаттайтын негізгі шамалар
Өзінің бағыты және шамасы периодты түрде өзгеріп отыратын токты (кернеуді) айнымалы деп атайды. Біз білетіндей тұрғын үй жүйелерін жарықтандыруда, сол сияқты зауоттар мен фабрикаларда, қолданатын айнымалы ток, еріксіз электромагниттік тербелістердің түріне жатады. Демек, ток және кернеу уақыттан тәуелді гармониялық заңмен өзгереді.
Синусоидалық ток уақытқа байланысты синусоидалық заңмен өзгереді (10-сурет):
(19)
Функцияның максимал шамасын амплитуда деп айтады. Токтың амплитудасын Im әрпімен белгілейді. Толық бір тербеліс жасауға кететін уақытты период деп атайды. Периодты Т деп белгілейді. Бір секундтағы тербеліс саны жиілік деп аталады, оны f әрпімен белгілейді, сонда (жиіліктің өлшемі Гц — герц немесе с-1)
(20)
Бұрыштық жиілікті ω мен белгілейді (бұрыштық жиіліктің өлшемі рад/с немесе с-1)
(21)
(19) өрнектегі синустың аргументі — ді фаза деп атайды. Фаза t-уақыт кезеңіндегі тербелістің күйін (сан мәнін) сипаттайды.
Синусоида заңымен өзгеретін кез-келген функция үш шамамен: амплитудамен, бұрыштық жиілікпен және бастапқы фазамен анықталады.
ТМД және Батыс Еуропа елдерінде, энергиялық стандарт ретінде, снусоидалық токтың жиілігіне 50 Гц қабылданған. АҚШ-та стандарттық жиілік 60 Гц-қа тең. Практикада қолдану тапқан синусоидалық токтардың жиілік диапазондары өте көп. Ол, мысалы, геологиялық барлауда герцтің үлесінен басталса, радиотехникада миллиардтаған герцке дейін барады.
Синусоидалық токтар мен э.қ.к-нің жиіліктері төмен (бірнеше килогерцке дейін). Бұларды синхрондық генераторлардың (электрлік машиналар курсында құылады) көмегімен алады. Ал жоғары жиілікті синусоидалық токтар мен э.қ.к-ін лампалық немесе жартылай өткізгіштік генераторлардың (радиотехникада қарастырылады) көмегімен алады.
Синусоидалық э.қ.к-і көздерін және ток көздерін электрлік схемаларда тұрақты э.қ.к-і көзі және ток көздерін белгілеуге ұқсас белгілейді. Былайша айтқанда, оларды е және j [немесе e(t) және j(t)] деп белгілейді.
Жоғары математикада f(t) периодтық функцияның Т-периодтың орташа мәні мынадай өрнекпен анықталатыны бізге белгілі:
(22)
Мұнда біз, функцияның бір период ішіндегі орташа шамасы, ауданы f(t) функциясымен шектелген, абсцисса осі бір периодтқа тең, тік бұрыштың биіктігін Т-табанына көбейткенге тең ауданмен анықталатынын көреміз.
Синусоидалық функция жағыдайында период ішіндегі оның мәні нөлге тең, себебі синусоиданың жарты толқынының оң таңбалы ауданы, синусоиданың келесі теріс таңбалы жарты толқынының ауданымен теңгеріледі. Сондықтан абсолют шамасы бойынша алынған функцияның орташа мәні, немесе сондай орташа жарты периодтың мәне алынады. Ол синусоиданың оң таңбалы жарты толқынына сәйкес келді (11-сурет). Демек, осыған сәйкес амплитудасы A = Im синусоидалық токтың орташа мәні былай анықталады:
(23)
Демек, синусоидалық токтың орташа мәні амплитудалық токтың 0,638 бөлігін құрайды. Осыған ұқсас ; .
Токтың жылулық әсері және сол сияқты бірдей ток өтетін екі өткізгіштердің механикалық өзара әсерлесулерінің күші, токтың квадыратына пропорционал болады. Сондықтан токтың шамасын период ішіндегі әсерлік (ораташа квадраттың) мәні бойынша бағалайды.
Бұдан әрі біз математикаға жүгінсек, f(t) периодтық функциясының әсерлік мәнін былай анықтаған болар едік:
. (24)
(24) өрнегін синусоида заңымен өзгеретін токқа қолдансақ, онда токтың әсерлік мәнін былай жазуға болады:
. (25)
Бұл жерде, біз синусоидалық токтың әсерлік мәні, оның амплитудалық мәнінің 0,707 бөлігін құрайтынын көреміз.
Осыған құсас және .
Белгілі бір кедергі арқылы бірдей уақыт аралығында жүріп өтетін синусоидалық ток пен тұрақты токтың жылулық әсерлерін салыстыруға болады.
Бір периодта синусоидалық токтан бөлінетін жылудың мөлшері
.
Сондай уақыт аралығында тұрақты токтың бөлетін жылуы болады. Бұларды теңестірсек:
немесе
Сонымен, синусоидалық токтың әсерлік мәні (I) сан жағынан, синусоидалық токтың бөлетін жылуындай жылу шығаратын, тұрақты токтың мәніне тең болады.
Практикада қолданылатын көптеген өлшеуге арналған электрлік құралдар, өлшенетін шаманың әсерлік мәнін көрсетеді.
Периодты түрде өзгеретін функцияның амплитудасының оның әсерлік мәніне қатынасын, амплитудалық коэффициент деп атайды. Оны ka деп белгілейді.
. (26)
Сол сияқты периодты түрде өзгеретін функцияның әсерлік мәнінің оның жарты период ішіндегі орташа мәніне қатынасын, формалық коэффициент деп айтады және оны kф әрпімен белгілейді. Демек,
(27)
Синусоидалық токтарды комплекстік жазықтықта кескіндеу
Төменде корсетілген 12-ші суретінде комплекс сандарды кескіндеуге болатын комплекстік жазықтық бейнеленген.
Комплекстік санның нақты (заттық) және жорамал бөлігі болады. Комплекстік жазықтықтың абсцисса өсі бойынша комплекстік санның нақты бөлігін, ал ординатаға жорамал санның бөлігін салады. Нақты мәндер өсіне +1-ді, ал жорамал мәндер өсіне +j-ді ( ) саламыз.
Математика курсынан белгілі Эйлер өрнегі бойынша:
(28)
Комплекстік жазықтықтағы — комплекстік саны векторды бейнелейді, ол бірге тең және заттық мәндер өсімен (+1 өсімен) α — бұрыш жасайды. Альфа (α) бұрышы +1 өсімен сағат тілі бағытына қарсы бағытта саналады. Функцияның модулі
Мұндағы — функциясының +1 өсіне проекциясы cosα — ға, ал +j өсіне проекциясы sinα-ға тең болады. Егер — функциясының орнына Im — ны алсақ, онда
Комплекстік жазықтықта бұл функция, -функциясы сияқты, +1 өсіне α- бұрышымен бейнеленеді, бірақ вектордың ұзындығы Im есе көп болады.
Көрсетілген (28) өрнегіндегі α- бұрышы кез-келген бола алады. Сондықтан біз деп, яғни α- бұрышы уақытқа байланысты тура пропорционал өзгереді деп алайық. Сонда
(29)
Мұндағы қосылғышы -дің нақты бөлігін (Re) құрайды, сондықтан
. (30)
ал функциясы өрнегінің жорамал бөлігі (Im) болып табылады, демек
. (31)
Сонымен синусоидамен өзгеретін [(19) және (31)] i — тогын түрінде, немесе дәл осы сияқты, бірақ айналу векторының +j өсіне проекциясы түрінде көрсетуге болады (13 сурет).
Радиотехникалық әдебиеттерде барлық уақытта негіз ретінде синусоида емес, косинусоида қолданылады, демек, ол (30) өрнегі болып табылады.
Комплекстік жазықтықтарда, бірдейлік үшін, уақытқа байланысты синусоидалық түрде өзгеретін вектордың ( болатын уақыт кезеңіндегі) шамасы қабылданған. Сонда вектор мынадай болады:
(32)
мұндағы — модулі Im — ге тең, комплекстік шама; ψ — бастапқы фазаға тең, комплекстік жазықтықтың +1 өсіне — веторының жасайтын бұрышы.
-шамасын i-тогының комплекстік амплитудасы деп атайды. Комплекстік амплитуда, комплекстік жазықтықта, болған уақыт кезеңіндегі i-тогын бейнелейді. — тогының немесе — кернеуінің үстінде қойылған нүкте бұл шамалардың уақытқа байланысты синусоида заңымен өзгеретінін көрсетеді.
Осы айтқандарға түсініктеме. Айталық, болсын. Осы токты комплекстік амплитуда өрнегі түрде жазу керек. Бұл жағыдайда , Демек, Айталық, комплекстік амплитуда болсын дейік. Енді осы токтың ілездік мәні үшін өрнек жазайық. Комплекстік амплитудадан оның ілездік мәні көшу үшін -ді -не көбейтеміз де, алынған көбейтіндінің (31 өрнегін қараңыз) жорамал бөлігінің алдындағы коэффициентті аламыз:
Токтың әсерлік мәнінің комплекстік немесе — тогының комплексі (комплекстік ток) деп — комплекстік амплитуданы — ге бөлгендегі бөліндіні айтады:
. (33)
Тапсырма 4.
тогының әсерлік мәнінің комплекстік өрнегін жазыңыз.
Шешуі: Токтың әсерлік мәнінің комплексі
Комплекстік жазықтықтағы синусоидалық функцияларға қосу және алу амалдарын қолдану.
Векторлық диаграмма
Жиіліктері бірдей екі токты (і1 және і2) қосу керек болсын дейік. Сонда олардың қосындылары сондай жиілікті токты береді:
(34)
Демек, і — тогының Im — амплитудасын, ψ — бастапқы фазасын анықтау қажет. Осыған сәйкес комплекстік жазықтықта (14-сурет) і — тогын , ал і2 — тогын векторлары түрнде бейнелейміз. — және — векторларының геометриялық қосындылары қосынды, токтың комплекстік амплитудасын береді. Токтың -амплитудасы қосынды вектордың ұзындығы, ал бастапқы — фазасы осы вектор мен +1өсінің арасындағы бұрыш ретінде анықталады.
Екі токтың (э.қ.к-нің, кернеудің) айырымын анықтау үшін, комплекстік жазықтықта қосу операциясын емес, қайта, тиісті векторлардың айырымын анықтау операциясын жүргізу керек.
Егер , және — векторлары координата бас нүктесінің айналасында -бұрыштық жылдамдықпен айналатын болса, онда векторлардың бір-бірімен салыстырғандағы орналасулары еш өзгеріссіз қалатынына көңіл аударуымыз керек.
Векторлық диаграмма деп уақыт бойынша бірдей жиілікпен синусоида заңымен өзгеретін, фазаларына байланысты бір-біріне салыстырғанда, дұрыс бағытталулары сақтала отырып салынған, комплекстік жазықтықтағы векторлардың жиынтығын айтады. Векторлық диаграмманың мысалы 14-суретінде берілген.
Электр тізбегінің бөлігі арқылы синусоидалық токтар жүргенде ток көзінің энергиясын тұтыну процесі жүріп жатады. Энергияның келіп тұру жылдамдығы қуатпен сипатталады. Тізбектің бөлігіндегі ілездік қуатты табу үшін ілездік кернеудің (и) мәнін ілездік токтың (і) мініне көбейту қажет
(35)
мұндағы р — уақыттық функциясы.
Резистрдағы (кедергідегі) синусоидалық ток
Синусоидалық — кернеуді (15-сурет) кедергіге түсірсек, онда R-кедергісі арқылы синусоидалық ток жүреді
15 — Сурет
Шын мәнінде, кедергінің қысқыштарындағы кернеудің және токтың бірдей бастапқы фазалары болады, немесе оларды көбіне фазалары сәйкес келеді деп те айтады, яғни олар өздерінің Im — және Um — амплитудалық мәндеріне бірдей уақытта нөлге де жетеді.
Бірдей жиіліктері бар екі синусоиданың бастапқы фазаларының айырымын фазалық ығысу деп атайды. Берілген жағыдайдағы и- кернеумен і-токтың арасындағы фазалық ығысу нөлге тең:
R — кедергі арқылы синусоидалық ток жүргенде, кедергідегі кернеудің және токтың ілездік мәні ғана емес, сол сияқты кернеудің және токтың әсерлік мәндері де Ом заңымен байланысты болады:
(36)
Өткізгіштік шамасын пайдаланып, мынаны табамыз:
(37)
(35) өрнегі бойынша, кедергіге келіп түсетін, ілездік қуат
(38)
Мұнан біз ілездік қуаттың кернеу мен токтың жиілігіне салыстырғанда екі еселенген жиілікпен өзгеретін және ол 0 ден 2UI шегінде өтетінін байқаймыз (15-сурет). (38) өрнегінен р — қисығы екі қосындыдан тұрады: оның бірі UI — де, екіншісі амплитудасы UI және бұрыштық жиілігі 2ω болатын косинусоидалық функция. Қоректендіру көзінен dt уақытында пайдалынатын энергияның шамасы pdt — ға тең болады.
Синусоидалық ток тізбегіндегі индуктивтік элемент
Индуктивтік элемент уақытқа байланысты магнит ағынының өзгерісінен, э.қ.к-нің туу құбылысын және нақты электр тізбегінің элементінде магнит өрісінің энергиясының жинақталу құбылысын есептеуге мүмкіндік береді. Оны Ѱ-ағындық ілінісудің i — токтан тәуелділігі (вебер-амперлік сипаттамасы) немесе — тндуктивтігі сипаттайды. Электрлік схемада индуктивтік элементті 16 суретіндегідей бейнелейді.
16 — Сурет
Нақты индуктивті катушканы схемада ауыстырғанда, тізбектей жалғанған индуктивтік және резисторлық элементтер түрінде көрсетуге болады.
Енді индуктивтік элементті бөліп алайық. Онда ол арқылы өтетін i — тогының, өзіндік индукциясының э.қ.к-і -дің және индуктивтік элементтегі кернеу — ның оң бағыттары көрсетілген. Егер болса, онда Енді a — және b — нүктелерінің арасындағы потенциалдар айырымын анықтайық. Суреттегі b — нүктесінен a — нүктесіне қарай қозғалған кезімізде, біз — э.қ.к-не қарай жүреміз, сондықтан және . Бұдан әрі индуктивтік элементтегі кернеуді немесе, оны жай әшейін индекссіз и әрпімен белгілейміз, сонда
(39)
Демек,
(40)
Мұндағы көбейтіндісін мен белгілейді және оны индуктивтік кедергі деп айтады. Индукивтік кедергі оммен (Ом) өлшенеді:
(41)
Осыдан, біз ток және кернеудің әсерлік мәндеріне тиісті амплитудалар, Ом заңына ұқсас екенін, мысалы мынадай қатысты болатындығын көреміз:
(42)
Ал индуктивтік кедергіге кері шаманы индуктивтік өткізгіштік деп атайды.
Сонымен,
(43)
Қорыта айтқанда, синусоидалық ток жүргенде индуктивтік элементтің (активтік кедергесі R = 0 болатын индуктивтік катушканың), модулі болатын жиілігіне пропорционал [(40) өрнегін қараңыз]кедергісі болады.
16 суретте оң жағында кернеу векторы ток веторынан қа озық, ал өзіндік индукцияның э.қ.к-нің комплексі кернеуінің комплексімен қарама-қарсы фазада болады.
16 суретте ортасында ілездік кернеу мен ілездік токтың фазалық ығысыу ге тең болады, яғни
(44)
Енді ілездік қуатты анықтайық, сонда
(45)
Ілездік қуаттың графигіне қарап, оның нөлдік мәніне өтуі ток (і) нөл болғанда, не кернеу (и) нөл болғанда орын алатыны байқалады. Периодтың алғашқы төрттен бір бөлігінде, и және і оң болғанда, р — да оң болады. Осы уақыт ішінде , р — қисықтығының абсциссамен шектелген ауданы, индуктивтік катушкадағы магнит өрісін тудыруға жұмсалған, қоректендіру көзінен алынған энергияны көрсетеді. Периодтың екінші төрттен бір бөлігінде, тізбекті ток максимумнан нөлге дейін келіп, магнит өрісінің энергиясы, керсінше, қоректендіру көзіне беріледі, бұл кезде ілездік қуат теріс болады. Периодтың үшінші төрттен бір бөлігінде, қайтадан энергия алынып, келесі төрттен бір бөлігінде беріліді және т.с.с. Демек, индуктивтік катушка энергияны периодты түрде қоректендіру көзінен алып және қайтарып отырады. Енді осы энергияны анықтаса.
Индуктивтіктегі магнит өрісінің энергиясы
периодты түрде, бұрыштық жиілікпен 0 және шегінде өзгеріп отырады.
Нақты индуктивтік катушкадағы кернеудің түсуі және дегі (17 — сурет) кернеулердің қосындысына тең. Бұл суреттен катушкадағы кернеу мен тогының арасындағы бұрыш ға тең, ал мұндағы индуктивтік катушканың төзімділігі деп аталады. неғұрлым үлкейген болған сайын, да кішірейе береді.
Синусоидалық ток тізбегіндегі сыйымдылық элементі
18 — суретіндегі сыйымдылығындағы кернеу синусоида заңымен өзгерсін дейік:
(46)
Сыйымдылық элементін q — зарядының u — кернеуден (кулон-вольт сипаттасы) тәуелділігі немесе сыймдылығы сипаттайды. Кенеу и мен i — токты оң бағытта анағанда, олар бір-біріне сәйкес келеді.
Егер конденсаторға уақытқа байланысты өзгемейтін u — кернеуін түсірсек, онда конденсатордың бір астарында заряды, ал екінші астарында заряды өзгермейтін тұрақты болып, конденсатор арқылы ток өтпейді
Егер конденсатордағы u — кернеуі синусоида заңымен өзгеретін болса (46), онда конденсатордағы зарядта өзгереді: , былайша айтқанда, конденсатор периодты түрде зарядталып тұрады. Периодты түрде конденсатордың зарядталып тұруы ол арқылы зарядтық токтың өтуін қамтамасыз етеді:
(47)
(46) және (47) теңдеулерін салыстырғанда, конденсатордағы ток фазасы бойынша, конденсатордағы кернеуден қа озып отырады, былайша айтқанда, фаза айырымы Сондықтан векторлық диаграммада (19-сурет) векторы кернеулік векторы нен қа озық болады.
Кенеу мен токтың әсерлік мәндеріне тиісті амплитудалар, Ом заңына ұқсас, мынадай қатыста болады:
(48)
нің өлшемі кедергінің өлшеміндей, бұл шаманы сыйымдылық кедергісі деп атайды. Сонымен
(49)
(50)
Мұндағы шамасын деп белгілісек , онда оны сыйымдалық өткізгіші деп атайды. Бұл сыйымдылық кедергісіне кері шама. Демек,
(51)
19-суретінде и, і, р — нің ілездік мәндерінің графиктері берілген. Ілездік қуат
(52)
Периодтың алғашқы төрттен бір бөлігінде, конденсатор қоректендіру көзінің энергиясынан зарядталады, соның нәтижесінде, онда электр өрісі пайда болады. Периодтың екінші төрттен бір бөлігінде, конденсатордың кернеуі максималдың шамадан нөлге дейін төмендейді, нәтижесінде жинақталған (қорланған) электр өрісінің энергиясы қоректендіру көзіне беріледі (ілездік қуат теріс болады). Периодтың үшінші төрттен бір бөлігінде, энергия қайтадан жинақталады (қорланады), периодтың төртінші бір бөлігінде қайтып беріледі және т.с.с. Демек, сыйымдылықтағы электр өрісінің энергиясы мынадай заңдылықпен өзгереді:
Мұндағы бұрыштық жиілік оның өзгеріс шегі 0-ден не дейін жүреді.
Егер (53) теңдігінің екі жағын да уақыт бойынша интергалдаса
(53)
онда алынады
(54)
(54) өрнегі конденсатордағы ток арқылы сол конденсатордағы кернеуді анықтауға мүмкіндік береді.
Пластиналары қатты немесе сұйық диэлектриктермен толтырылған, жылулық шағандарының бар болуы диагональдық молекулалардың тұтқыр үйкелістеріне және басқа да себептерге байланысты болатын, нақты конденсатор арқылы өтетін токты есептеуді схема (20 сурет) бойынша жүргізу қажет. Қорытқы ток
тогы дан қа озық болады, ал тогының мен фазасы сәйкес келеді. Суреттегі бұрышын азаю бұрышы деп айтады, демек, мұндағы конденсатордың төзімділігі деп аталатын шама, диэлектриктің түрлерінен және жиіліктен тәуелді және ол бірнеше секундтан бірнеше градусқа дейін өзгереді. Сол сияқты екенін де еске алуымыз керек.